第4讲不等式1.函数f(x)=1xlg(2+x-x2)的定义域为__________.[解析]x≠0,2+x-x20,⇒-1x0或0x2,所以函数f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,2)[答案](-1,0)∪(0,2)2.已知t0,则函数y=t2-4t+1t的最小值为________.[解析]因为t0,所以y=t2-4t+1t=t+1t-4≥2-4=-2,且在t=1时取等号.[答案]-23.(2019·高三第一次调研测试)若实数x,y满足x≤y≤2x+3,则x+y的最小值为______.[解析]作出可行域如图中阴影部分所示,令z=x+y,数形结合易知当直线z=x+y过点A(-3,-3)时,z取得最小值,zmin=-6.[答案]-64.(2019·苏北四市高三质量检测)设f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x-3,则不等式f(x)≤-5的解集为________.[解析]因为当x>0时,f(x)=2x-3,所以当x<0,即-x>0时,f(-x)=2-x-3,因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=2-x-3=-f(x),所以f(x)=-2-x+3.当x>0时,不等式f(x)≤-5等价为2x-3≤-5,即2x≤-2,无解,故x>0时,不等式不成立;当x<0时,不等式f(x)≤-5等价为-2-x+3≤-5,即2-x≥8,得x≤-3;当x=0时,f(0)=0,不等式f(x)≤-5不成立.综上,不等式f(x)≤-5的解集为(-∞,-3].[答案](-∞,-3]5.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是________.[解析]一年购买600x次,则总运费与总存储费用之和为600x×6+4x=4900x+x≥8900x·x=240,当且仅当x=30时取等号,故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.[答案]306.(2019·苏北三市高三模拟)已知对于任意的x∈(-∞,1)∪(5,+∞),都有x2-2(a-2)x+a>0,则实数a的取值范围是________.[解析]记f(x)=x2-2(a-2)x+a,令f(x)=0,由题意得,Δ=4(a-2)2-4a<0或f(1)≥0,f(5)≥0,Δ≥0,1≤a-2≤5,所以1<a<4或4≤a≤5,即实数a的取值范围是(1,5].[答案](1,5]7.(2019·扬州市第一学期期末检测)已知正实数x,y满足x+4y-xy=0,若x+y≥m恒成立,则实数m的取值范围为______.[解析]x+4y-xy=0,即x+4y=xy,等式两边同时除以xy,得4x+1y=1,由基本不等式可得x+y=(x+y)·4x+1y=4yx+xy+5≥24yx·xy+5=9,当且仅当4yx=xy,即x=2y=6时,等号成立,所以x+y的最小值为9,因为m≤9.[答案]m≤98.在R上定义运算:x*y=x(1-y),若不等式(x-a)*(x+a)≤1对任意的x恒成立,则实数a的取值范围是________.[解析]由于(x-a)*(x+a)=(x-a)(1-x-a),则不等式(x-a)*(x+a)≤1对任意的x恒成立,即x2-x-a2+a+1≥0恒成立,所以a2-a-1≤x2-x恒成立,又x2-x=x-122-14≥-14,则a2-a-1≤-14,解得-12≤a≤32.[答案]-12,329.记min{a,b}为a,b两数的最小值.当正数x,y变化时,令t=min2x+y,2yx2+2y2,则t的最大值为______.[解析]因为x>0,y>0,所以问题转化为t2≤(2x+y)·2yx2+2y2=4xy+2y2x2+2y2≤4·x2+y22+2y2x2+2y2=2(x2+2y2)x2+2y2=2,当且仅当x=y时等号成立,所以0<t≤2,所以t的最大值为2.[答案]210.(2019·宁波统考)已知函数f(x)=loga(x2-a|x|+3)(a0,a≠1).若对于-1≤x1x2≤-12的任意实数x1,x2都有f(x1)-f(x2)0成立,则实数a的范围是________.[解析]易知已知函数为偶函数,则当x∈12,1时为减函数.对于x∈12,1时,f(x)=loga(x2-ax+3)(a0,a≠1)设g(x)=x2-ax+3,由题意得:a1,1≤a2,g(1)0或0a1,a2≤12,g120,则2≤a4或0a1.[答案](0,1)∪[2,4)11.已知x>0,a为大于2x的常数,(1)求函数y=x(a-2x)的最大值;(2)求y=1a-2x-x的最小值.[解](1)因为x>0,a>2x,所以y=x(a-2x)=12×2x(a-2x)≤122x+(a-2x)22=a28,当且仅当x=a4时取等号,故函数的最大值为a28.(2)y=1a-2x+a-2x2-a2≥212-a2=2-a2.当且仅当x=a-22时取等号.故y=1a-2x-x的最小值为2-a2.12.已知关于x的不等式x+2x2-(1+a)x+a0.(1)当a=2时,求此不等式的解集;(2)当a-2时,求此不等式的解集.[解](1)当a=2时,不等式可化为x+2(x-1)(x-2)0,所以不等式的解集为{x|-2x1或x2}.(2)当a-2时,不等式可化为x+2(x-1)(x-a)0,当-2a1时,解集为{x|-2xa或x1};当a=1时,解集为{x|x-2且x≠1};当a1时,解集为{x|-2x1或xa}.13.(2019·盐城市高三第三次模拟考试)如图,某人承包了一块矩形土地ABCD用来种植草莓,其中AB=99m,AD=49.5m.现计划建造如图所示的半圆柱型塑料薄膜大棚n(n∈N*)个,每个半圆柱型大棚的两半圆形底面与侧面都需蒙上塑料薄膜(接头处忽略不计),塑料薄膜的价格为每平方米10元;另外,还需在每两个大棚之间留下1m宽的空地用于建造排水沟与行走小路(如图中EF=1m),这部分的建设造价为每平方米31.4元.(1)当n=20时,求蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积;(结果保留π)(2)试确定大棚的个数,使得上述两项费用的和最低.(计算中π取3.14)[解](1)设每个半圆柱型大棚的底面半径为r.当n=20时,共有19块空地,所以r=99-19×12×20=2(m),所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面的面积)为πr2+πr×AD=π×22+2π×49.5=103π(m2),即蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积为103πm2.(2)设两项费用的和为f(n).因为r=99-(n-1)×12n=100-n2n,所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面的面积)为S=πr2+πr×AD=π×100-n2n2+π×49.5×100-n2n,则f(n)=10nS+31.4×1×49.5(n-1)=10n[π×100-n2n2+π×49.5×100-n2n]+31.4×1×49.5(n-1)=31.4×[(100-n)24n+49.5×100-n2+49.5(n-1)]=31.44×[(100-n)2n+99(100-n)+198(n-1)]=31.44×(1002n+100n+9502)=31.44×[100×100n+n+9502],因为100n+n≥2100n·n=20,当且仅当n=10时等号成立,所以,当且仅当n=10时,f(n)取得最小值,即当大棚的个数为10个时,上述两项费用的和最低.14.设m是常数,集合M={m|m1},f(x)=log3(x2-4mx+4m2+m+1m-1).(1)证明:当m∈M时,f(x)对所有的实数x都有意义;(2)当m∈M时,求函数f(x)的最小值;(3)求证:对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1.[解](1)证明:f(x)=log3(x-2m)2+m+1m-1,当m∈M,即m1时,(x-2m)2+m+1m-10恒成立,故f(x)的定义域为R.(2)令g(x)=x2-4mx+4m2+m+1m-1,因为y=log3g(x)是增函数,所以当g(x)最小时f(x)最小,而g(x)=(x-2m)2+m+1m-1,显然当x=2m时,g(x)的最小值为m+1m-1.此时f(x)min=log3m+1m-1.(3)证明:m∈M时,m+1m-1=m-1+1m-1+1≥2+1=3,所以log3m+1m-1≥log33=1,结论成立.