（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第4讲 不等

第4讲不等式1．函数f(x)＝1xlg(2＋x－x2)的定义域为__________．[解析]x≠0，2＋x－x20，⇒－1x0或0x2，所以函数f(x)的定义域为(－1，0)∪(0，2)[答案](－1，0)∪(0，2)2．已知t0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为________．[解析]因为t0，所以y＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4≥2－4＝－2，且在t＝1时取等号．[答案]－23．(2019·高三第一次调研测试)若实数x，y满足x≤y≤2x＋3，则x＋y的最小值为______．[解析]作出可行域如图中阴影部分所示，令z＝x＋y，数形结合易知当直线z＝x＋y过点A(－3，－3)时，z取得最小值，zmin＝－6．[答案]－64．(2019·苏北四市高三质量检测)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝2x－3，则不等式f(x)≤－5的解集为________．[解析]因为当x＞0时，f(x)＝2x－3，所以当x＜0，即－x＞0时，f(－x)＝2－x－3，因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝2－x－3＝－f(x)，所以f(x)＝－2－x＋3．当x＞0时，不等式f(x)≤－5等价为2x－3≤－5，即2x≤－2，无解，故x＞0时，不等式不成立；当x＜0时，不等式f(x)≤－5等价为－2－x＋3≤－5，即2－x≥8，得x≤－3；当x＝0时，f(0)＝0，不等式f(x)≤－5不成立．综上，不等式f(x)≤－5的解集为(－∞，－3]．[答案](－∞，－3]5．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．[解析]一年购买600x次，则总运费与总存储费用之和为600x×6＋4x＝4900x＋x≥8900x·x＝240，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30．[答案]306．(2019·苏北三市高三模拟)已知对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x2－2(a－2)x＋a＞0，则实数a的取值范围是________．[解析]记f(x)＝x2－2(a－2)x＋a，令f(x)＝0，由题意得，Δ＝4(a－2)2－4a＜0或f（1）≥0，f（5）≥0，Δ≥0，1≤a－2≤5，所以1＜a＜4或4≤a≤5，即实数a的取值范围是(1，5]．[答案](1，5]7．(2019·扬州市第一学期期末检测)已知正实数x，y满足x＋4y－xy＝0，若x＋y≥m恒成立，则实数m的取值范围为______．[解析]x＋4y－xy＝0，即x＋4y＝xy，等式两边同时除以xy，得4x＋1y＝1，由基本不等式可得x＋y＝(x＋y)·4x＋1y＝4yx＋xy＋5≥24yx·xy＋5＝9，当且仅当4yx＝xy，即x＝2y＝6时，等号成立，所以x＋y的最小值为9，因为m≤9．[答案]m≤98．在R上定义运算：x*y＝x(1－y)，若不等式(x－a)*(x＋a)≤1对任意的x恒成立，则实数a的取值范围是________．[解析]由于(x－a)*(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，则不等式(x－a)*(x＋a)≤1对任意的x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1≥0恒成立，所以a2－a－1≤x2－x恒成立，又x2－x＝x－122－14≥－14，则a2－a－1≤－14，解得－12≤a≤32．[答案]－12，329．记min{a，b}为a，b两数的最小值．当正数x，y变化时，令t＝min2x＋y，2yx2＋2y2，则t的最大值为______．[解析]因为x＞0，y＞0，所以问题转化为t2≤(2x＋y)·2yx2＋2y2＝4xy＋2y2x2＋2y2≤4·x2＋y22＋2y2x2＋2y2＝2（x2＋2y2）x2＋2y2＝2，当且仅当x＝y时等号成立，所以0＜t≤2，所以t的最大值为2．[答案]210．(2019·宁波统考)已知函数f(x)＝loga(x2－a|x|＋3)(a0，a≠1)．若对于－1≤x1x2≤－12的任意实数x1，x2都有f(x1)－f(x2)0成立，则实数a的范围是________．[解析]易知已知函数为偶函数，则当x∈12，1时为减函数．对于x∈12，1时，f(x)＝loga(x2－ax＋3)(a0，a≠1)设g(x)＝x2－ax＋3，由题意得：a1，1≤a2，g（1）0或0a1，a2≤12，g120，则2≤a4或0a1．[答案](0，1)∪[2，4)11．已知x＞0，a为大于2x的常数，(1)求函数y＝x(a－2x)的最大值；(2)求y＝1a－2x－x的最小值．[解](1)因为x＞0，a＞2x，所以y＝x(a－2x)＝12×2x(a－2x)≤122x＋（a－2x）22＝a28，当且仅当x＝a4时取等号，故函数的最大值为a28．(2)y＝1a－2x＋a－2x2－a2≥212－a2＝2－a2．当且仅当x＝a－22时取等号．故y＝1a－2x－x的最小值为2－a2．12．已知关于x的不等式x＋2x2－（1＋a）x＋a0．(1)当a＝2时，求此不等式的解集；(2)当a－2时，求此不等式的解集．[解](1)当a＝2时，不等式可化为x＋2（x－1）（x－2）0，所以不等式的解集为{x|－2x1或x2}．(2)当a－2时，不等式可化为x＋2（x－1）（x－a）0，当－2a1时，解集为{x|－2xa或x1}；当a＝1时，解集为{x|x－2且x≠1}；当a1时，解集为{x|－2x1或xa}．13．(2019·盐城市高三第三次模拟考试)如图，某人承包了一块矩形土地ABCD用来种植草莓，其中AB＝99m，AD＝49．5m．现计划建造如图所示的半圆柱型塑料薄膜大棚n(n∈N*)个，每个半圆柱型大棚的两半圆形底面与侧面都需蒙上塑料薄膜(接头处忽略不计)，塑料薄膜的价格为每平方米10元；另外，还需在每两个大棚之间留下1m宽的空地用于建造排水沟与行走小路(如图中EF＝1m)，这部分的建设造价为每平方米31．4元．(1)当n＝20时，求蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积；(结果保留π)(2)试确定大棚的个数，使得上述两项费用的和最低．(计算中π取3．14)[解](1)设每个半圆柱型大棚的底面半径为r．当n＝20时，共有19块空地，所以r＝99－19×12×20＝2(m)，所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面的面积)为πr2＋πr×AD＝π×22＋2π×49．5＝103π(m2)，即蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积为103πm2．(2)设两项费用的和为f(n)．因为r＝99－（n－1）×12n＝100－n2n，所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面的面积)为S＝πr2＋πr×AD＝π×100－n2n2＋π×49．5×100－n2n，则f(n)＝10nS＋31．4×1×49．5(n－1)＝10n[π×100－n2n2＋π×49．5×100－n2n]＋31．4×1×49．5(n－1)＝31．4×[（100－n）24n＋49．5×100－n2＋49．5(n－1)]＝31．44×[（100－n）2n＋99(100－n)＋198(n－1)]＝31．44×(1002n＋100n＋9502)＝31．44×[100×100n＋n＋9502]，因为100n＋n≥2100n·n＝20，当且仅当n＝10时等号成立，所以，当且仅当n＝10时，f(n)取得最小值，即当大棚的个数为10个时，上述两项费用的和最低．14．设m是常数，集合M＝{m|m1}，f(x)＝log3(x2－4mx＋4m2＋m＋1m－1)．(1)证明：当m∈M时，f(x)对所有的实数x都有意义；(2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值；(3)求证：对每个m∈M，函数f(x)的最小值都不小于1．[解](1)证明：f(x)＝log3（x－2m）2＋m＋1m－1，当m∈M，即m1时，(x－2m)2＋m＋1m－10恒成立，故f(x)的定义域为R．(2)令g(x)＝x2－4mx＋4m2＋m＋1m－1，因为y＝log3g(x)是增函数，所以当g(x)最小时f(x)最小，而g(x)＝(x－2m)2＋m＋1m－1，显然当x＝2m时，g(x)的最小值为m＋1m－1．此时f(x)min＝log3m＋1m－1．(3)证明：m∈M时，m＋1m－1＝m－1＋1m－1＋1≥2＋1＝3，所以log3m＋1m－1≥log33＝1，结论成立．