（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第3讲 基本

第3讲基本初等函数、函数与方程及函数应用1．已知点M33，3在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为________．[解析]设幂函数的解析式为f(x)＝xα，则3＝33α，得α＝－2．故f(x)＝x－2．[答案]f(x)＝x－22．(2019·常州模拟)函数y＝12x的值域为________．[解析]由指数函数性质知值域为(0，＋∞)．[答案](0，＋∞)3．函数y＝|x|2－|x|－12两个零点的差的绝对值是________．[解析]令|x|2－|x|－12＝0，得(|x|－4)(|x|＋3)＝0，即|x|＝4，所以两个零点的差的绝对值是|4－(－4)|＝8．[答案]84．(2019·绵阳期中)若a＝30．6，b＝log30．2，c＝0．63，则a，b，c的大小关系为________．[解析]30．6＞1，log30．2＜0，0＜0．63＜1，所以a＞c＞b．[答案]a＞c＞b5．(2019·山西大学附中期中)有四个函数：①y＝x12；②y＝21－x；③y＝ln(x＋1)；④y＝|1－x|．其中在区间(0，1)内单调递减的函数的序号是________．[解析]分析题意可知①③显然不满足题意，画出②④中的函数图象(图略)，易知②④中的函数满足在(0，1)内单调递减．[答案]②④6．设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m＝________．[解析]因为2a＝5b＝m，所以a＝log2m，b＝log5m，所以1a＋1b＝1log2m＋1log5m＝logm2＋logm5＝logm10＝2．所以m＝10．[答案]107．(2019·南京、盐城高三模拟)已知函数f(x)＝exx－kx(e为自然对数的底数)有且只有一个零点，则实数k的取值范围是________．[解析]由题意，知x≠0，函数f(x)有且只有一个零点等价于方程exx－kx＝0只有一个根，即方程exx2＝k只有一个根，设g(x)＝exx2，则函数g(x)＝exx2的图象与直线y＝k只有一个交点．因为g′(x)＝（x－2）exx3，所以函数g(x)在(－∞，0)上为增函数，在(0，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，g(x)的极小值g(2)＝e24，且x→0时，g(x)→＋∞，x→－∞时，g(x)→0，x→＋∞时，g(x)→＋∞，则g(x)的图象如图所示，由图易知0ke24．[答案]0，e248．(2019·高三第二次调研测试)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且在[2，4)上，f(x)＝2－x，2≤x3，x－4，3≤x4，则函数y＝f(x)－log5|x|的零点个数为______．[解析]由f(x＋4)＝f(x)得奇函数f(x)的最小正周期为4，作出函数f(x)与y＝log5|x|的部分图象如图所示，根据图象易知，函数y＝f(x)与y＝log5|x|的图象有5个交点，故函数y＝f(x)－log5|x|的零点个数是5．[答案]59．设a0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1，1]上的最大值是14，则a的值为________．[解析]令t＝ax(a0且a≠1)，则原函数化为y＝(t＋1)2－2(t0)．①当0a1时，x∈[－1，1]，t＝ax∈a，1a，此时f(t)在a，1a上为增函数．所以f(t)max＝f1a＝1a＋12－2＝14．所以1a＋12＝16，所以a＝－15或a＝13．又因为a0，所以a＝13．②当a1时，x∈[－1，1]，t＝ax∈1a，a，此时f(t)在1a，a上是增函数．所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(a＝－5舍去)．综上得a＝13或3．[答案]13或310．(2019·江苏省高考名校联考信息卷(五))已知函数f(x)＝2x－12x＋1(x∈R)，g(x)满足g(2－x)＋g(x)＝0．若函数f(x－1)与函数g(x)的图象恰好有2019个交点，则这2019个交点的横坐标之和为______．[解析]由于f(－x)＋f(x)＝2－x－12－x＋1＋2x－12x＋1＝0，所以函数f(x)＝2x－12x＋1为奇函数，从而函数f(x－1)的图象关于点(1，0)对称．由函数g(x)满足g(2－x)＋g(x)＝0，可知g(x)的图象也关于点(1，0)对称，所以函数F(x)＝g(x)－f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，从而这2019个零点关于点(1，0)对称，由于F(1)＝g(1)－f(0)＝0，所以x＝1是F(x)的一个零点，其余2018个零点首尾结合，两两关于点(1，0)对称，和为2018，故所有这些零点之和为2019，即函数f(x－1)与函数g(x)的图象的2019个交点的横坐标之和为2019．[答案]201911．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1．(1)若存在x∈R使f(x)b·g(x)，求实数b的取值范围；(2)设F(x)＝f(x)－mg(x)＋1－m－m2，且|F(x)|在[0，1]上单调递增，求实数m的取值范围．[解](1)∃x∈R，f(x)bg(x)⇒∃x∈R，x2－bx＋b0⇒(－b)2－4b0⇒b0或b4．故b的取值范围为(－∞，0)∪(4，＋∞)．(2)F(x)＝x2－mx＋1－m2，Δ＝m2－4(1－m2)＝5m2－4．①当Δ≤0，即－255≤m≤255时，则必需m2≤0，－255≤m≤255⇒－255≤m≤0．②当Δ0，即m－255或m255时，设方程F(x)＝0的根为x1，x2(x1x2)．若m2≥1，则x1≤0，即m2≥1，F（0）＝1－m2≤0⇒m≥2；若m2≤0，则x2≤0，即m2≤0，F（0）＝1－m2≥0⇒－1≤m－255．综上所述，m的取值范围为[－1，0]∪[2，＋∞)．12．(2019·南通市高三模拟)某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为1m的圆形，并用四根木条将圆分成9个区域，其中四边形ABCD为中心在圆心的矩形．现计划将矩形ABCD区域设计为可推拉的窗口．(1)若窗口ABCD为正方形，且面积大于14m2(木条宽度忽略不计)，求四根木条总长的取值范围；(2)若四根木条总长为6m，求窗口ABCD面积的最大值．[解](1)当ABCD为正方形时，四根木条的长度相等，设一根木条长为xm，则正方形的边长为21－x22＝4－x2m．因为S四边形ABCD14，所以4－x214，即0x152．又四根木条将圆分成9个区域，所以x2，所以424x215，即四根木条总长的取值范围为(42，215)．(2)设AB所在木条长为am，BC所在木条长为bm．由条件知，2a＋2b＝6，即a＋b＝3．因为a，b∈(0，2)，所以b＝3－a∈(0，2)，从而a，b∈(1，2)．由于AB＝21－b24，BC＝21－a24，S矩形ABCD＝41－b24·1－a24＝4－b2·4－a2，因为4－b2·4－a2≤8－（a2＋b2）2≤8－（a＋b）222＝74，当且仅当a＝b＝32∈(1，2)时，S矩形ABCD＝74，所以窗口ABCD面积的最大值为74m2．13．(2019·江苏省高考名校联考(九))某公司研发了一款新型的洗衣液，其具有“强力去渍、快速去污”的效果．研发人员通过多次试验发现每投放a(1≤a≤4，a∈R)克洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y(克/升)随着时间x(分钟)变化的函数关系式近似为y＝a·f(x)，其中f(x)＝2x，0≤x≤4，6x－3＋2，x＞4，且当水中洗衣液的浓度不低于16克/升时，才能够起到有效去污的作用．若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．(1)若一次投放4克的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？(2)如果第一次投放4克洗衣液，4分钟后再投放4克洗衣液，写出第二次投放之后洗衣液在水中释放的浓度y(克/升)与时间x(分钟)的函数关系式，其中x表示第一次投放的时长，并判断接下来的4分钟是否能够持续有效去污．[解](1)当一次投放4克洗衣液，即a＝4时，y＝4·f(x)＝8x，0≤x≤4，24x－3＋8，x4．因为当水中洗衣液的浓度不低于16克/升时，才能够起到有效去污的作用，所以当0≤x≤4时，由8x≥16，解得x≥2，所以此时2≤x≤4；当x4时，由24x－3＋8≥16，得x≤6，所以此时4x≤6．综上可得2≤x≤6．所以若一次投放4克洗衣液，有效去污时间可达4分钟．(2)由(1)得，当4≤x≤8时，y＝24x－3＋8＋8(x－4)＝24x－3＋8(x－3)；当x8时，y＝24x－3＋8＋24x－4－3＋8＝24x－3＋24x－7＋16．综上，y＝24x－3＋8（x－3），4≤x≤8，24x－3＋24x－7＋16，x8．当4≤x≤8时，y＝24x－3＋8(x－3)≥224x－3×8（x－3）＝163，当且仅当x＝3＋3时等号成立．又16316，所以接下来的4分钟能够有效去污．14．设函数fn(x)＝xn＋bx＋c(n∈N*，b，c∈R)．(1)设n≥2，b＝1，c＝－1，证明：fn(x)在区间12，1内存在唯一零点；(2)设n＝2，若对任意x1，x2∈[－1，1]，有|f2(x1)－f2(x2)|≤4，求b的取值范围．[解](1)证明：b＝1，c＝－1，n≥2时，fn(x)＝xn＋x－1．因为fn12fn(1)＝12n－12×10，所以fn(x)在12，1内存在零点．又当x∈12，1时，f′n(x)＝nxn－1＋10，所以fn(x)在12，1上是单调递增的，所以fn(x)在12，1内存在唯一零点．(2)当n＝2时，f2(x)＝x2＋bx＋c．对任意x1，x2∈[－1，1]都有|f2(x1)－f2(x2)|≤4等价于f2(x)在[－1，1]上的最大值与最小值之差M≤4．据此分类讨论如下：①当b21，即|b|2时，M＝|f2(1)－f2(－1)|＝2|b|4，与题设矛盾．②当－1≤－b20，即0b≤2时，M＝f2(1)－f2－b2＝b2＋12≤4恒成立．③当0≤－b2≤1，即－2≤b≤0时，M＝f2(－1)－f2－b2＝b2－12≤4恒成立．综上可知，－2≤b≤2．