（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第2讲 函数

第2讲函数的概念、图象与性质1．已知函数f(x)＝2x＋1，x1，x2＋ax，x≥1，若f[f(0)]＝4a，则实数a＝________．[解析]由题意知，f(0)＝20＋1＝2，则f[f(0)]＝f(2)＝4＋2a，即4＋2a＝4a，所以a＝2．[答案]22．(2019·江苏省六市高三调研)函数f(x)＝lg（5－x2）的定义域是________．[解析]由题意得lg（5－x2）≥0，5－x2＞0，解得－2≤x≤2，所以所求函数的定义域为[－2，2]．[答案][－2，2]3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．[解析]因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，所以a＝13．又f(－x)＝f(x)，所以b＝0，所以a＋b＝13．[答案]134．若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(x)＝________．[解析]由题意知2f(x)－f(－x)＝3x＋1．①将①中x换为－x，则有2f(－x)－f(x)＝－3x＋1．②①×2＋②得3f(x)＝3x＋3，即f(x)＝x＋1．[答案]x＋15．(2019·江苏省高考名校联考信息(八))已知a∈R，函数f(x)＝a－24x＋1的图象经过点A12，13，则关于x的不等式f(x2＋x)＋f(x－8)0的解集为______．[解析]因为函数f(x)＝a－24x＋1的图象经过点A(12，13)，所以f(12)＝a－23＝13，解得a＝1，所以f(x)＝1－24x＋1＝4x－14x＋1，易知函数f(x)是R上的增函数．又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是R上的奇函数，所以关于x的不等式f(x2＋x)＋f(x－8)0可转化为f(x2＋x)f(8－x)，所以x2＋x8－x，即x2＋2x－80，解得－4x2．[答案]－4x26．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)已知定义在[0，＋∞)上的函数f(x)满足f(x)＝12f(x＋2)，且当x∈[0，2)时，f(x)＝x2＋1，则log2f(8)＝______．[解析]由题意得f(x＋2)＝2f(x)，所以f(8)＝2f(6)＝4f(4)＝8f(2)＝16f(0)＝16，所以log2f(8)＝log216＝4．[答案]47．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当ab时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2，2]的最大值等于________．[解析]由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，当1x≤2时，f(x)＝x3－2．因为f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数．所以f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6．[答案]68．(2019·江苏省高考名校联考(一))已知函数f(x)＝14x2－x＋2，x＞0，2，x≤0，则不等式f(－x2－1)≤f(－x2＋5x)的解集为________．[解析]因为－x2－1≤－1＜0，所以f(－x2－1)＝2，当－x2＋5x≤0时，f(－x2－1)＝f(－x2＋5x)＝2，原不等式成立，此时，x≥5或x≤0；当－x2＋5x＞0时，则需f(－x2＋5x)≥2，即14(－x2＋5x)2－(－x2＋5x)＋2≥2，－x2＋5x≥4，得1≤x≤4．故原不等式的解集为(－∞，0]∪[1，4]∪[5，＋∞)．[答案](－∞，0]∪[1，4]∪[5，＋∞)9．(2019·江苏省高考名校联考(五))已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2－mx(m∈R)．若函数y＝f(x)在区间(－2，1)上单调递减，则实数m的最小值为________．[解析]当x＞0时，f(x)＝x2－mx＝x－m22－m24，所以当m≤0时，函数y＝f(x)在区间(－2，1)上不可能单调递减，所以不满足条件；当m＞0时，根据函数的图象可知，函数y＝f(x)在－m2，m2上单调递减，所以－m2≤－2，m2≥1，即m≥4，所以实数m的最小值为4．[答案]410．如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为________(填序号)．[解析]当x∈[0，π4]时，f(x)＝tanx＋4＋tan2x，图象不会是直线段，从而排除①，③．当x∈[π4，3π4]时，f(π4)＝f(3π4)＝1＋5，f(π2)＝22．因为22＜1＋5，所以f(π2)＜f(π4)＝f(3π4)，从而排除④．[答案]②11．若函数f(x)＝xax＋b(a≠0)，f(2)＝1，又方程f(x)＝x有唯一解，求f(x)的解析式．[解]由f(2)＝1得22a＋b＝1，即2a＋b＝2；由f(x)＝x得xax＋b＝x，变形得x1ax＋b－1＝0，解此方程得x＝0或x＝1－ba，又因方程有唯一解，故1－ba＝0，解得b＝1，代入2a＋b＝2得a＝12，所以f(x)＝2xx＋2．12．已知函数f(x)＝ax＋b(a0，a≠1)．(1)若f(x)的图象如图(1)所示，求a，b的值；(2)若f(x)的图象如图(2)所示，求a、b的取值范围；(3)在(1)中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数解，求出m的范围．[解](1)f(x)的图象过点(2，0)，(0，－2)，所以a2＋b＝0，a0＋b＝－2，解得a＝3，b＝－3．(2)由题图(2)知，f(x)单调递减，所以0a1，又f(0)0，即a0＋b0，所以b－1．(3)画出y＝|f(x)|的草图，如图所示，知当m＝0或m≥3时，|f(x)|＝m有且仅有一个实数解．13．已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R且e为自然对数的底数)．(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．[解](1)因为f(x)＝ex－e－x，且y＝ex是增函数，y＝－e－x是增函数，所以f(x)是增函数．由于f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(2)由(1)知f(x)是增函数且是奇函数，所以f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R恒成立，f(x2－t2)≥f(t－x)对一切x∈R恒成立，x2－t2≥t－x对一切x∈R恒成立，t2＋t≤x2＋x对一切x∈R恒成立，t2＋t≤(x2＋x)min对一切x∈R恒成立，即t2＋t≤－14，(2t＋1)2≤0，所以t＝－12．即存在实数t＝－12，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立．14．(2019·扬州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)．(1)求f(2016)的值；(2)求证：函数f(x)的图象关于直线x＝2对称；(3)若f(x)在区间[0，2]上是增函数，试比较f(－25)，f(11)，f(80)的大小．[解](1)因为f(x－4)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(x－4)＝－{－f[(x－4)－4]}＝f(x－8)，知函数f(x)的周期为T＝8．所以f(2016)＝f(252×8)＝f(0)．又f(x)为定义在R上的奇函数．所以f(0)＝0，故f(2016)＝0．(2)证明：因为f(x)＝－f(x－4)，所以f(x＋2)＝－f[(x＋2)－4]＝－f(x－2)＝f(2－x)，即f(2＋x)＝f(2－x)成立．故函数f(x)的图象关于直线x＝2对称．(3)由(1)知f(x)是以8为周期的周期函数，所以f(－25)＝f[(－3)×8－1]＝f(－1)，f(11)＝f(8＋3)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)，f(80)＝f(10×8＋0)＝f(0)．又f(x)在[0，2]上是增函数，且f(x)在R上为奇函数，所以f(x)在[－2，2]上为增函数，则有f(－1)f(0)f(1)，即f(－25)f(80)f(11)．