（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第1讲 集合

第1讲集合与常用逻辑用语1．(2019·江苏名校高三入学摸底)设集合A＝{－2，2}，B＝{x|x2－3x－4≥0}，则A∩(∁RB)＝______．[解析]由B＝{x|x2－3x－4≥0}＝{x|x≤－1或x≥4}，得∁RB＝{x|－1x4}，又A＝{－2，2}，所以A∩(∁RB)＝{2}．[答案]{2}2．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是____________．[答案]任意一个无理数，它的平方不是有理数3．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________________．[解析]命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题，所以应填“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c23”．[答案]若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c234．(2019·无锡模拟)下列命题中真命题的序号是________．①∃x∈R，x＋1x＝2；②∃x∈R，sinx＝－1；③∀x∈R，x20；④∀x∈R，2x0．[解析]对于①x＝1成立，对于②x＝3π2成立，对于③x＝0时显然不成立，对于④，根据指数函数性质显然成立．[答案]①②④5．已知U＝R，A＝{1，a}，B＝{a2－2a＋2}，a∈R，若(∁UA)∩B＝∅，则a＝______．[解析]由题意知B⊆A，所以a2－2a＋2＝1或a2－2a＋2＝a．当a2－2a＋2＝1时，解得a＝1；当a2－2a＋2＝a时，解得a＝1或a＝2．当a＝1时，不满足集合中元素的互异性，舍去；当a＝2时，满足题意．所以a＝2．[答案]26．若命题“ax2－2ax－30不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．[解析]ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，a0，Δ＝4a2＋12a≤0，得－3≤a0；所以－3≤a≤0．[答案]－3≤a≤07．(2019·南京调研)设函数f(x)＝lg(1－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}，则图中阴影部分表示的集合为________．[解析]因为A＝{x|y＝f(x)}＝{x|1－x20}＝{x|－1x1}＝(－1，1)，∁RA＝(－∞，－1]∪[1，＋∞)，则u＝1－x2∈(0，1]，所以B＝{y|y＝f(x)}＝{y|y≤0}＝(－∞，0]，∁RB＝(0，＋∞)，所以题图阴影部分表示的集合为(A∩∁RB)∪(B∩∁RA)＝(0，1)∪(－∞，－1]．[答案](0，1)∪(－∞，－1]8．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)已知集合P＝{x|x≤a}，Q＝x∈Z|log8x≤13，若P∩Q＝Q，则实数a的取值范围是________．[解析]由Q＝x∈Z|log8x≤13，得Q＝{1，2}，又P∩Q＝Q，所以a≥2，即实数a的取值范围是[2，＋∞)．[答案][2，＋∞)9．若∃θ∈R，使sinθ≥1成立，则cosθ－π6的值为________．[解析]由题意得sinθ－1≥0．又－1≤sinθ≤1，所以sinθ＝1．所以θ＝2kπ＋π2(k∈Z)．故cosθ－π6＝12．[答案]1210．(2019·江苏省高考名校联考信息卷(八))已知x≠0，x∈R，则“2x1”是“3x9”的______条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)[解析]由2x1得x2或x0．由3x9得x2，所以由“3x9”可以得“2x1”，反之却无法得到，所以“2x1”是“3x9”的必要不充分条件．[答案]必要不充分11．给出以下三个命题：①若ab≤0，则a≤0或b≤0；②在△ABC中，若sinA＝sinB，则A＝B；③在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac0，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是________．(填序号)[解析]在△ABC中，由正弦定理得sinA＝sinB⇔a＝b⇔A＝B．故填②．[答案]②12．(2019·南京高三模拟)下列说法正确的序号是________．①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；②“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件；③命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题；④命题“∃x0∈R，x20＋x0＋10”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1＜0”．[解析]命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，所以①不正确．由x＝－1，能够得到x2－5x－6＝0，反之，由x2－5x－6＝0，得到x＝－1或x＝6，所以“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，所以②不正确．命题“若x＝y，则sinx＝siny”为真命题，所以其逆否命题也为真命题，所以③正确．命题“∃x0∈R，x20＋x0＋1＜0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”，所以④不正确．[答案]③13．若命题“∀x∈[－1，1]，1＋2x＋a·4x0”是假命题，则实数a的最小值为__________．[解析]变形得a－2x＋14x＝－12x＋122＋14，令t＝12x，则a－t＋122＋14，因为x∈[－1，1]，所以t∈12，2，所以f(t)＝－t＋122＋14在12，2上是减函数，所以[f(t)]min＝f(2)＝－2＋122＋14＝－6，又因为该命题为假命题，所以a≥－6，故实数a的最小值为－6．[答案]－614．(2019·江苏四星级学校高三联考)设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P*Q＝{z|z＝ab，a∈P，b∈Q}，若P＝{1，2}，Q＝{－1，0，1}，则集合P*Q中元素的个数为________．[解析]法一(列举法)：当b＝0时，无论a取何值，z＝ab＝1；当a＝1时，无论b取何值，ab＝1；当a＝2，b＝－1时，z＝2－1＝12；当a＝2，b＝1时，z＝21＝2．故P*Q＝1，12，2，该集合中共有3个元素．法二(列表法)：因为a∈P，b∈Q，所以a的取值只能为1，2；b的取值只能为－1，0，1．z＝ab的不同运算结果如下表所示：ba－101111121212由上表可知P*Q＝1，12，2，显然该集合中共有3个元素．[答案]3