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高考热点追踪(五)1．(2019·苏州期末)双曲线x2－y24＝1的渐近线方程为________．[解析]令x2－y24＝0，得y＝±2x，即为双曲线x2－y24＝1的渐近线方程．[答案]y＝±2x2．(2019·南京、盐城模拟)椭圆x24＋y2m＝1的一条准线方程为y＝m，则m＝________．[解析]焦点在y轴上，mm－4＝m，m＝5．[答案]53．(2019·太原调研)直线x－2y＋2＝0过椭圆x2a2＋y2b2＝1的左焦点F1和一个顶点B，则椭圆的方程为________．[解析]直线x－2y＋2＝0与x轴的交点为(－2，0)，即为椭圆的左焦点，故c＝2．直线x－2y＋2＝0与y轴的交点为(0，1)，即为椭圆的顶点，故b＝1．故a2＝b2＋c2＝5，椭圆方程为x25＋y2＝1．[答案]x25＋y2＝14．已知双曲线C：x2a2－4y2＝1(a＞0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线E：y2＝2px的焦点与双曲线C的右焦点重合，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点M到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．[解析]x2a2－4y2＝1的右顶点坐标为(a，0)，一条渐近线为x－2ay＝0．由点到直线的距离公式得d＝|a|1＋4a2＝34，解得a＝32或a＝－32(舍去)，故双曲线的方程为4x23－4y2＝1．因为c＝34＋14＝1，故双曲线的右焦点为(1，0)，即抛物线的焦点为(1，0)，所以p＝2，x＝－1是抛物线的准线，因为点M到y轴的距离为d1，所以到准线的距离为d1＋1，设抛物线的焦点为F，则d1＋1＝|MF|，所以d1＋d2＝d1＋1＋d2－1＝|MF|＋d2－1，焦点到直线l的距离d3＝|1－0＋4|2＝52＝522，而|MF|＋d2≥d3＝522，所以d1＋d2＝|MF|＋d2－1≥522－1．[答案]522－15．(2019·南京、盐城高三模拟)已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为________．[解析]连结OA，OP，在直角三角形OAP中，OP＝2OA＝2．又OP∈[OM－1，OM＋1]，即1≤OM≤3，所以1≤a2＋(a－4)2≤9，化简得2a2－8a＋7≤02a2－8a＋15≥0，解得2－22≤a≤2＋22．[答案][2－22，2＋22]6．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线Γ：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线为l1，l2，直线l：xc＋yb＝1分别与l1，l2交于A，B，若线段AB中点横坐标为－c，则双曲线Γ的离心率为________．[解析]依题意l1，l2的方程为x2a2－y2b2＝0，联立x2a2－y2b2＝0，xc＋yb＝1，消去y得1a2－1c2x2＋2cx－1＝0，即b2a2c2x2＋2cx－1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2a2cb2，因为线段AB中点横坐标为－c，所以x1＋x2＝－2a2cb2＝－2c，所以a2＝b2，故双曲线Γ的离心率为2．[答案]27．(2019·南京四校第一学期联考)已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，若直线l：3x＋4y＋m＝0上存在点P，过点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝60°，则实数m的取值范围是________．[解析]圆C的圆心C(1，－2)，半径r＝2．连接PC，AC，则在Rt△PCA中，∠APC＝30°，AC＝2，所以PC＝4，这样就转化为直线l上存在点P，且点P到圆心C的距离为4，也就是直线l与以C为圆心，4为半径的圆有公共点，所以|3×1＋4×（－2）＋m|32＋42≤4，解得－15≤m≤25，因此实数m的取值范围是[－15，25]．[答案][－15，25]8．(2019·无锡市高三模拟)已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，线段EF在直线l：y＝x＋1上运动，点P为线段EF上任意一点，若圆C上存在两点A，B，使得PA→·PB→≤0，则线段EF长度的最大值是________．[解析]由PA→·PB→≤0得∠APB≥90°，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时，∠APB才是最大的角，不妨设切线为PM，PN，当∠APB≥90°时，∠MPN≥90°，sin∠MPC＝2PC≥sin45°＝22，所以PC≤22．另当过点P，C的直线与直线l：y＝x＋1垂直时，PCmin＝322，以C为圆心，CP＝22为半径作圆交直线l于E，F两点，这时的线段长即为线段EF长度的最大值，所以EFmax＝2（22）2－（322）2＝14．[答案]149．(2019·苏州高三模拟)已知经过点P(1，32)的两个圆C1，C2都与直线l1：y＝12x，l2：y＝2x相切，则这两圆的圆心距C1C2等于________．[解析]设圆C经过点P(1，32)，且与直线l1：y＝12x，l2：y＝2x均相切，圆心C(a，b)，由题意可知点C在第一象限，且在直线y＝2x的下方，在直线y＝12x的上方，点C到两直线的距离相等，即|2a－b|5＝|2b－a|5，化简得a＝b0，且(a5)2＝(a－1)2＋(a－32)2，化简整理得36a2－100a＋65＝0(*)，设C1(a1，a1)，C2(a2，a2)，则a1，a2是(*)的两个不相等的实数根，则a1＋a2＝259，a1a2＝6536，则|C1C2|＝2|a1－a2|＝2（a1＋a2）2－4a1a2＝2×62581－659＝459．[答案]45910．(2019·南京、盐城高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线分别与抛物线交于A，B两点(A，B异于坐标原点O)．若直线AB恰好过点F，则双曲线的渐近线方程是________．[解析]不妨设点A是渐近线y＝bax与抛物线的交点，则A(p2，bp2a)在抛物线上，所以(bp2a)2＝2p×p2，化简得ba＝2，故双曲线的渐近线方程是y＝±bax＝±2x．[答案]y＝±2x11．(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(八))在平面直角坐标系中，已知圆C：x2＋(y－4)2＝4，有一动点P在直线x－2y＝0上运动，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别为A，B．(1)求切线长PA的最小值；(2)试问：当点P运动时，弦AB所在的直线是否恒过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．[解](1)因为PA是圆C的一条切线，所以∠CAP＝90°，在Rt△CAP中，PA＝PC2－AC2＝PC2－22．因为PC的最小值为圆心C到直线x－2y＝0的距离d，且d＝|－2×4|（－2）2＋12＝855，所以切线长PA的最小值PAmin＝d2－22＝2555．(2)设P(2b，b)，易知经过A，P，C三点的圆E以CP为直径，圆E的方程为(x－b)2＋(y－b＋42)2＝4b2＋（b－4）24，即x2＋y2－2bx－(b＋4)y＋4b＝0①．又圆C：x2＋(y－4)2＝4，即x2＋y2－8y＋12＝0②．②－①，得圆E与圆C的相交弦AB所在直线的方程为2bx＋(b－4)y＋12－4b＝0，即(2x＋y－4)b－4y＋12＝0．由2x＋y－4＝0－4y＋12＝0，解得x＝12y＝3．所以弦AB所在的直线恒过定点(12，3)．12．(2019·衡水中学调研)已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1和F2，且F1F2＝2，点1，32在该椭圆上．(1)求椭圆C的方程；(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的面积为1227，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．[解](1)由题意知c＝1，2a＝322＋322＋22＝4，所以a＝2，故椭圆C的方程为x24＋y23＝1．(2)①当直线l⊥x轴时，可取A－1，－32，B－1，32，△AF2B的面积为3，不符合题意．②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，代入椭圆方程得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，显然Δ0成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－8k23＋4k2，x1x2＝4k2－123＋4k2，可得AB＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2＝12（k2＋1）3＋4k2，又圆F2的半径r＝2|k|1＋k2，所以△AF2B的面积为12AB·r＝12|k|k2＋13＋4k2＝1227，代简得17k4＋k2－18＝0，得k＝±1，所以r＝2，圆的方程为(x－1)2＋y2＝2．13．(2019·南京期末)已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆E的离心率为12，椭圆E的一个焦点和抛物线y2＝－4x的焦点重合，过直线l：x＝4上一点M引椭圆E的两条切线，切点分别是A，B．(1)求椭圆E的方程；(2)若在椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上的点(x0，y0)处的切线方程是x0xa2＋y0yb2＝1，求证：直线AB恒过定点C，并求出定点C的坐标．[解](1)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，因为抛物线y2＝－4x的焦点是(－1，0)，所以c＝1．又ca＝12，所以a＝2，b＝a2－c2＝3，所以所求椭圆E的方程为x24＋y23＝1．(2)证明：设切点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l上一点M的坐标为(4，t)，则切线方程分别为x1x4＋y1y3＝1，x2x4＋y2y3＝1，又两切线均过点M，即x1＋t3y1＝1，x2＋t3y2＝1，即点A，B的坐标都适合方程x＋t3y＝1，而两点确定唯一的一条直线，故直线AB的方程是x＋t3y＝1，显然对任意实数t，点(1，0)都适合这个方程，故直线AB恒过定点C(1，0)．14．(2019·江苏四星级学校联考)定义：设在平面内给定一点O和常数k(k≠0)，对于平面内任意一点A，确定A′，使A′在直线OA上，若线段长度|OA|与|OA′|满足|OA|·|OA′|＝r2，则称这种变换是以O为反演中心，以r2为反演幂的反演变换，简称“反演”，称A′为A关于O(r)的反演点．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的焦点分别为F1，F2，上顶点为B，若△BF1F2是等边三角形，且椭圆经过点(2，3)．(1)求椭圆的方程；(2)若P，M是椭圆上不同的两点，点M关于x轴的对称点为N，直线MP，NP分别交x轴于点E(x1，0)，F(x2，0)，试探究E，F两点是否互为反演点？如果是，请说明理由，并求出反演幂r2；如果不是，请说明理由．[解](1)由题意可知，ba＝324a2＋9b2＝1，得a＝4b＝23，故椭圆的方程为x216＋y212＝1．(2)设P(x0，y0)，M(m，n)，则N(m，－n)，则直线PM：y－y0＝n－y0m－x0(x－x0)，令y＝0，得x1＝my0－nx0y0－n，同理可得x2＝my0＋nx0y0＋n，所以x1·x2＝m2y20－n2x20y20－n2．又x2016＋y2012＝1，m216＋n212＝1，所以x1x2＝16（1－n212）y20－16（1－y2012）n2y20－n2＝16．即|OE|·|OF|＝16，故E，F两点互为反演点，且反演幂r2＝16．