（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第2讲 圆锥曲线的标准方程与几何性质练习

第2讲圆锥曲线的标准方程与几何性质1．(2019·南京模拟)椭圆x225＋y29＝1的离心率是________．[解析]由椭圆方程可得a＝5，b＝3，c＝4，e＝45．[答案]452．(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(四))已知方程x2m＋12＋y2m2＋m＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是________．[解析]因为方程x2m＋12＋y2m2＋m＝1表示双曲线，所以当焦点在x轴上时，m＋120m2＋m0，解得－1m0；当焦点在y轴上时，m＋120m2＋m0，解得m－1．所以实数m的取值范围是m－1或－1m0．[答案](－∞，－1)∪(－1，0)3．(2019·南京、盐城模拟)若双曲线x2－y2＝a2(a＞0)的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则a＝________．[解析]双曲线x2－y2＝a2的右焦点的坐标为()2a，0，抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，从而2a＝1，故a＝22．[答案]224．(2019·南通模拟)在平面直角坐标系xOy中，以直线y＝±2x为渐近线，且经过抛物线y2＝4x焦点的双曲线的方程是________．[解析]因为抛物线焦点为(1，0)，所以双曲线的焦点也在x轴上，故可设所求双曲线标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．又双曲线的渐近线为y＝±2x，故ba＝2．即所求双曲线的标准方程为x2－y24＝1．[答案]x2－y24＝15．(2019·镇江期末)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的渐近线方程是________．[解析]不妨设焦点为(c，0)，则由题意得双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，故14(2c)＝bca2＋b2＝bcc＝b，即c＝2b，从而a＝c2－b2＝4b2－b2＝3b，故双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±33x．[答案]y＝±33x6．(2019·江苏省高考名校联考(三))如图，若C是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上位于第一象限内的点，A，B分别是椭圆的左顶点和上顶点，F是椭圆的右焦点，且OC＝OF，AB∥OC，则该椭圆的离心率为________．[解析]设点C(x0，y0)，则x20＋y20＝c2y0x0＝ba，解得x0＝aca2＋b2y0＝bca2＋b2，代入椭圆方程得a2c2a2＋b2a2＋b2c2a2＋b2b2＝1，整理得2c2＝a2＋b2，又a2＝b2＋c2，故2c2＝a2＋a2－c2，所以e2＝23，又0＜e＜1，故e＝63．[答案]637．(2019·高三第三次调研测试)在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右准线与两条渐近线分别交于A，B两点．若△AOB的面积为ab4，则该双曲线的离心率为______．[解析]双曲线的渐近线方程为y＝±bax，右准线方程为x＝a2c，联立可求得两交点的纵坐标为±abc，所以△AOB的面积S＝12×2abc×a2c＝ab4，得c2a2＝4，e＝ca＝2．[答案]28．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，P是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2，4]，则PF1→·PF2→的最小值的取值范围是________．[解析]设P(m，n)，则m2a2－n2b2＝1，即m2＝a21＋n2b2．又F1(－1，0)，F2(1，0)，则PF1→＝(－1－m，－n)，PF2→＝(1－m，－n)，PF1→·PF2→＝n2＋m2－1＝n2＋a21＋n2b2－1＝n21＋a2b2＋a2－1≥a2－1，当且仅当n＝0时取等号，所以PF1→·PF2→的最小值为a2－1．由2≤1a≤4，得14≤a≤12，故－1516≤a2－1≤－34，即PF1→·PF2→的最小值的取值范围是－1516，－34．[答案]－1516，－349．(2019·江苏高考命题研究专家原创卷)已知抛物线的方程为y2＝4x，过其焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且|AF|＝3，O为坐标原点，则△AOF的面积和△BOF的面积的比值为________．[解析]易知F(1，0)，不妨设A在第一象限，B在第四象限．因为|AF|＝3，所以xA＋1＝3，解得xA＝2，代入抛物线方程可得y2A＝4×2，得yA＝22，所以直线AB的方程为y＝22－02－1(x－1)，即y＝22x－22．联立y＝22x－22y2＝4x，消去x得，y2－2y－4＝0，所以22yB＝－4，解得yB＝－2，所以△AOF的面积和△BOF的面积的比值为|yA||yB|＝2．[答案]210．(2019·南京模拟)已知椭圆x2＋y2b2＝1(0b1)的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B．过F、B、C作圆P，其中圆心P的坐标为(m，n)．当m＋n0时，则椭圆离心率的取值范围是________．[解析]设F、B、C的坐标分别为(－c，0)，(0，b)，(1，0)，则FC、BC的中垂线分别为x＝1－c2，y－b2＝1bx－12．联立方程组x＝1－c2，y－b2＝1bx－12，解出x＝1－c2，y＝b2－c2b．m＋n＝1－c2＋b2－c2b0，即b－bc＋b2－c0，即(1＋b)·(b－c)0，所以bc．从而b2c2，即有a22c2，所以e212．又e0，所以0e22．[答案]0e2211．(2019·扬州期末)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右准线l2与一条渐近线l交于点P，F是双曲线的右焦点．(1)求证：PF⊥l；(2)若PF＝3，且双曲线的离心率e＝54，求该双曲线方程．[解](1)证明：右准线为x＝a2c，由对称性不妨设渐近线l为y＝bax，则Pa2c，abc，又F(c，0)，所以kPF＝abc－0a2c－c＝－ab，又因为kl＝ba，所以kPF·kl＝－ab·ba＝－1，所以PF⊥l．(2)因为PF的长即F(c，0)到l：bx－ay＝0的距离，所以|bc|a2＋b2＝3，即b＝3，又e＝ca＝54，所以a2＋b2a2＝2516，所以a＝4，故双曲线方程为x216－y29＝1．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．[解](1)设椭圆的半焦距为c．因为椭圆E的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以ca＝12，2a2c＝8，解得a＝2，c＝1，于是b＝a2－c2＝3，因此椭圆E的标准方程是x24＋y23＝1．(2)由(1)知，F1(－1，0)，F2(1，0)．设P(x0，y0)，因为P为第一象限的点，故x00，y00．当x0＝1时，l2与l1相交于F1，与题设不符，当x0≠1时，直线PF1的斜率为y0x0＋1，直线PF2的斜率为y0x0－1．因为l1⊥PF1，l2⊥PF2，所以直线l1的斜率为－x0＋1y0，直线l2的斜率为－x0－1y0，从而直线l1的方程：y＝－x0＋1y0(x＋1)，①直线l2的方程：y＝－x0－1y0(x－1)．②由①②，解得x＝－x0，y＝x20－1y0，所以Q－x0，x20－1y0．因为点Q在椭圆E上，由对称性，得x20－1y0＝±y0，即x20－y20＝1或x20＋y20＝1．又P在椭圆E上，故x204＋y203＝1．由x20－y20＝1，x204＋y203＝1，解得x0＝477，y0＝377；x20＋y20＝1，x204＋y203＝1，无解．因此点P的坐标为477，377．13．(2019·南通市高三第一次调研测试)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，焦点到相应准线的距离为1．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线y＝2于点Q，求1OP2＋1OQ2的值．[解](1)由题意得，ca＝22，a2c－c＝1，解得a＝2，c＝1，又b2＝a2－c2，所以b＝1．所以椭圆的标准方程为x22＋y2＝1．(2)由题意知OP的斜率存在．当OP的斜率为0时，OP＝2，OQ＝2，所以1OP2＋1OQ2＝1．当OP的斜率不为0时，设直线OP的方程为y＝kx(k≠0)．由x22＋y2＝1，y＝kx，得(2k2＋1)x2＝2，解得x2＝22k2＋1，所以y2＝2k22k2＋1，所以OP2＝2k2＋22k2＋1．因为OP⊥OQ，所以直线OQ的方程为y＝－1kx．由y＝2，y＝－1kx得x＝－2k，所以OQ2＝2k2＋2．所以1OP2＋1OQ2＝2k2＋12k2＋2＋12k2＋2＝1．综上可知，1OP2＋1OQ2＝1．14．(2019·江苏名校高三入学摸底)为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的正西方向和正东方向设立了两个观测站A、B，它们到平台O的距离都为5海里，并将到两观测站的距离之和不超过20海里的区域设为禁航区域．(1)建立适当的平面直角坐标系，求禁航区域边界曲线的方程；(2)某日观察员在观测站B处发现在该海上平台正南103海里的C处，有一艘轮船正以每小时8海里的速度向北偏东30°方向航行，如果航向不变，该轮船是否会进入禁航区域？如果不进入，说明理由；如果进入，求出它在禁航区域中航行的时间．[解](1)以O为坐标原点，AB所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．依题意可知，禁航区域的边界是以A，B为焦点的椭圆，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则2a＝20c＝5a2＝b2＋c2，解得a＝10，b＝53，所以禁航区域边界曲线的方程为x2100＋y275＝1．(2)由题意得C(0，－103)，所以轮船航行直线的方程为y＝3x－103．联立y＝3x－103x2100＋y275＝1，整理得x2－16x＋60＝0，则Δ＝(－16)2－4×60＝160，方程有两个不同的实数解x1＝10，x2＝6，所以轮船航行直线与椭圆有两个不同的交点，故轮船会驶入禁航区域．设交点分别为M，N，不妨取M(10，0)，N(6，－43)，易得轮船在禁航区域中航行的距离为|MN|＝（10－6）2＋[0－（－43）]2＝8(海里)，所以航行时间t＝88＝1(小时)，所以该轮船在禁航区域中航行的时间是1小时．