（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 专题四 立体几何 第2讲 空间点、线、面的位置关系练习 文

第2讲空间点、线、面的位置关系1．(2019·揭阳模拟改编)设平面α，β，直线a，b，a⊂α，b⊂α，则“a∥β，b∥β”是“α∥β”的________条件．[解析]由平面与平面平行的判定定理可知，若直线a，b是平面α内两条相交直线，且a∥β，b∥β，则α∥β；当α∥β，若a⊂α，b⊂α，则a∥β，b∥β，因此“a∥β，b∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．[答案]必要不充分2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A、E、C的平面的位置关系是________．[解析]连结AC、BD相交于一点O，连结OE、AE、EC，因为四边形ABCD为正方形，所以DO＝BO．而DE＝D1E，所以EO为△DD1B的中位线，所以EO∥D1B，所以BD1∥平面AEC．[答案]BD1∥平面AEC3．(2019·南京模拟)四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD且PA＝4，则PC与底面ABCD所成角的正切值为________．[解析]因为PA⊥底面ABCD，所以PC在底面ABCD上的射影为AC，∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角，tan∠PCA＝PAAC＝2．[答案]24．(2019·南京、盐城模拟)已知平面α，β，直线m，n，给出下列命题：①若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β；②若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n．其中是真命题的是________．(填写所有真命题的序号)[解析]①错误，还有可能α，β相交；②错误，直线m，n可能平行、相交或异面；③④正确．[答案]③④5．(2019·镇江期末)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A­BCD，则在三棱锥A­BCD中，下列命题正确的是________．(填序号)①平面ABD⊥平面ABC；②平面ADC⊥平面BDC；③平面ABC⊥平面BDC；④平面ADC⊥平面ABC．[解析]因为在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，所以BD⊥CD，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB，AD∩CD＝D，所以AB⊥平面ADC，又AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC．[答案]④6．(2019·无锡期末)已知两条直线m、n，两个平面α、β．给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β．其中正确命题的序号是________．[解析]两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故①正确；两平面平行，分别在这两平面内的两直线可能平行，也可能异面，故②错；m∥n，m∥α时，n∥α或n⊂α，故③错；由α∥β，m⊥α得m⊥β，由m⊥β，n∥m得n⊥β，故④正确．[答案]①④7．(2019·苏州调研)正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，点M为CC1的中点，点N为线段DD1上靠近D1的三等分点，平面BMN交AA1于点Q，则线段AQ的长为________．[解析]如图所示，在线段DD1上靠近点D处取一点T，使得DT＝13，因为N是线段DD1上靠近D1的三等分点，故D1N＝23，故NT＝2－13－23＝1，因为M为CC1的中点，故CM＝1，连接TC，由NT∥CM，且CM＝NT＝1，知四边形CMNT为平行四边形，故CT∥MN，同理在AA1上靠近A处取一点Q′，使得AQ′＝13，连接BQ′，TQ′，则有BQ′∥CT∥MN，故BQ′与MN共面，即Q′与Q重合，故AQ＝13．[答案]138．如图，∠ACB＝90°，DA⊥平面ABC，AE⊥DB交DB于点E，AF⊥DC交DC于点F，且AD＝AB＝2，则三棱锥D­AEF体积的最大值为________．[解析]因为DA⊥平面ABC，所以DA⊥BC，又BC⊥AC，DA∩AC＝A，所以BC⊥平面ADC，所以BC⊥AF．又AF⊥CD，BC∩CD＝C，所以AF⊥平面DCB，所以AF⊥EF，AF⊥DB．又DB⊥AE，AE∩AF＝A，所以DB⊥平面AEF，所以DE为三棱锥D­AEF的高．因为AE为等腰直角三角形ABD斜边上的高，所以AE＝2，设AF＝a，FE＝b，则△AEF的面积S＝12ab≤12·a2＋b22＝12×22＝12，所以三棱锥D­AEF的体积V≤13×12×2＝26(当且仅当a＝b＝1时等号成立)．[答案]269．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝12，则下列结论中正确的是________．(填序号)①AC⊥BE；②EF∥平面ABCD；③三棱锥A­BEF的体积为定值；④△AEF的面积与△BEF的面积相等．[解析]因为AC⊥平面BB1D1D，又BE⊂平面BB1D1D，所以AC⊥BE，故①正确．因为B1D1∥平面ABCD，又E、F在线段B1D1上运动，故EF∥平面ABCD．故②正确．③中由于点B到直线EF的距离是定值，故△BEF的面积为定值，又点A到平面BEF的距离为定值，故VA­BEF不变．故③正确．由于点A到B1D1的距离与点B到B1D1的距离不相等，因此△AEF与△BEF的面积不相等，故④错误．[答案]①②③10．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上一个动点，则PM的最小值为________．[解析]如图，因为PC⊥平面ABC，MC⊂平面ABC，所以PC⊥MC．故PM＝PC2＋MC2＝MC2＋16．又因为MC的最小值为4×438＝23，所以PM的最小值为27．[答案]2711．(2019·江苏省高考名校联考(五))如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，CC1＝CA，点E，F分别为AC1，BC1的中点．(1)若B1C1上存在一点G，使得平面EFG∥平面AA1B1B，求证：点G为B1C1的中点；(2)若AC1⊥AB，求证：平面CEF⊥平面ABC1．[证明](1)如图，连接AB1，因为平面EFG∥平面AA1B1B，EG⊂平面EFG，所以EG∥平面AA1B1B．因为EG⊂平面AB1C1，平面AB1C1∩平面AA1B1B＝AB1，所以EG∥AB1，因为点E为AC1的中点，所以点G为B1C1的中点．(2)因为CC1＝CA，点E为AC1的中点，所以CE⊥AC1．因为点E，F分别为AC1，BC1的中点，所以EF∥AB，因为AC1⊥AB，所以EF⊥AC1．又CE∩EF＝E，CE，EF⊂平面CEF，所以AC1⊥平面CEF，因为AC1⊂平面ABC1，所以平面CEF⊥平面ABC1．12．(2019·南通调研)如图，在四面体ABCD中，平面BAD⊥平面CAD，∠BAD＝90°．M，N，Q分别为棱AD，BD，AC的中点．(1)求证：CD∥平面MNQ；(2)求证：平面MNQ⊥平面CAD．[证明](1)因为M，Q分别为棱AD，AC的中点，所以MQ∥CD，又CD⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，故CD∥平面MNQ．(2)因为M，N分别为棱AD，BD的中点，所以MN∥AB，又∠BAD＝90°，故MN⊥AD．因为平面BAD⊥平面CAD，平面BAD∩平面CAD＝AD，且MN⊂平面ABD，所以MN⊥平面CAD．又MN⊂平面MNQ，所以平面MNQ⊥平面CAD．13．(2019·南京、盐城模拟)如图①，E，F分别是直角三角形ABC边AB和AC的中点，∠B＝90°，沿EF将三角形ABC折成如图②所示的锐二面角A1­EF­B，若M为线段A1C的中点．求证：(1)直线FM∥平面A1EB；(2)平面A1FC⊥平面A1BC．[证明](1)取A1B中点N，连结NE，NM(图略)，则MN綊12BC，EF綊12BC，所以MN綊FE，所以四边形MNEF为平行四边形，所以FM∥EN，又因为FM⊄平面A1EB，EN⊂平面A1EB，所以直线FM∥平面A1EB．(2)因为E，F分别为AB和AC的中点，所以A1F＝FC，所以FM⊥A1C．同理，EN⊥A1B，由(1)知，FM∥EN，所以FM⊥A1B．又因为A1C∩A1B＝A1，所以FM⊥平面A1BC，又因为FM⊂平面A1FC，所以平面A1FC⊥平面A1BC．14．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD­A1C1D1，且这个几何体的体积为403．(1)求AA1的长；(2)在线段BC1上是否存在点P，使直线A1P与C1D垂直，如果存在，求线段A1P的长，如果不存在，请说明理由．[解](1)因为VABCD­A1C1D1＝VABCD­A1B1C1D1－VB­A1B1C1＝2×2×AA1－13×12×2×2×AA1＝103AA1＝403，所以AA1＝4．(2)存在点P满足题意．在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q，过Q作QP∥CB交BC1于点P，则A1P⊥C1D．因为A1D1⊥平面CC1D1D，C1D⊂平面CC1D1D，所以C1D⊥A1D1，而QP∥CB，CB∥A1D1，所以QP∥A1D1，又因为A1D1∩D1Q＝D1，所以C1D⊥平面A1PQD1，且A1P⊂平面A1PQD1，所以A1P⊥C1D．因为Rt△D1C1Q∽Rt△C1CD，所以C1QCD＝D1C1C1C，所以C1Q＝1，又因为PQ∥BC，所以PQ＝14BC＝12．因为四边形A1PQD1为直角梯形，且高D1Q＝5，所以A1P＝（2－12）2＋5＝292．