（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 专题四 立体几何 第1讲 空间几何体练习 文 苏教版

第1讲空间几何体1．(2019·南京、盐城高三模拟)设一个正方体与底面边长为23，侧棱长为10的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为________．[解析]根据题意，设正方体的棱长为a，则有a3＝13×(23)2×（10）2－（23×22）2，解得a＝2．[答案]22．(2019·苏州期末)已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为________．[解析]设圆锥的底面半径为r，高为h，则2π＝2πr，故r＝1，故h＝4－1＝3，故圆锥的体积为13π×12×3＝3π3．[答案]33π3．(2019·苏锡常镇模拟)平面α截半径为2的球O所得的截面圆的面积为π，则球心O到平面α的距离为________．[解析]设截面圆的半径为r，则πr2＝π，解得r＝1，故d＝R2－r2＝3．[答案]34．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．[解析]设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，则πrl＋πr2＝3π，πl＝2πr．解得r＝1，即直径为2．[答案]25．(2019·南京、盐城模拟)若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为________．[解析]设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则由侧面积是底面积的2倍得πrl＝2πr2，故l＝2r＝2，因此高为h＝3，故圆锥的体积为V＝13πr2h＝13π×12×3＝33π．[答案]3π36．(2019·苏锡常镇调研)如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝3，PA＝4，点E为棱CD上一点，则三棱锥E­PAB的体积为________．[解析]因为VE­PAB＝VP­ABE＝13S△ABE·PA＝13×12AB·AD·PA＝13×12×2×3×4＝4．[答案]47．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，则四棱锥A­BB1D1D的体积为__________________________________________________________________cm3．[解析]连结AC交BD于O，在长方体中，因为AB＝AD＝3，所以BD＝32且AC⊥BD．又因为BB1⊥底面ABCD，所以BB1⊥AC．又DB∩BB1＝B，所以AC⊥平面BB1D1D，所以AO为四棱锥A­BB1D1D的高且AO＝12BD＝322．因为S矩形BB1D1D＝BD×BB1＝32×2＝62，所以VA­BB1D1D＝13S矩形BB1D1D·AO＝13×62×322＝6(cm3)．[答案]68．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32，则这个四棱锥的外接球的表面积为________．[解析]依题意得，该正四棱锥的底面对角线长为32×2＝6，高为（32）2－12×62＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球的球心为底面正方形的中心，其外接球的半径为3，所以其外接球的表面积等于4π×32＝36π．[答案]36π9．(2019·江苏省高考名校联考信息卷(五))如图是一个实心金属几何体的直观图，它的中间为高是4的圆柱，上下两端均是半径为2的半球，若将该实心金属几何体在熔炉中高温熔化(不考虑过程中的原料损失)，熔成一个实心球，则该球的直径为______．[解析]设实心球的半径为R，则由题意知该实心金属几何体的体积V＝323π＋16π＝803π＝43πR3，得R＝320，所以实心球的直径为2R＝2320．[答案]232010．(2019·江苏省高考名校联考(五))如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，且AA1＝2AB，若三棱锥P­BCD的体积与正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的侧面积的数值之比为1∶24，则VABCD­A1B1C1D1＝________．[解析]设AB＝a，则AA1＝2a，所以VP­BCD＝13×12a2×2a＝13a3，正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的侧面积为S＝4×2a2＝8a2，所以13a38a2＝a24＝124，即a＝1，所以VABCD­A1B1C1D1＝2a3＝2．[答案]211．(2019·苏州市第一学期学业质量调研)如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥所得的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面的大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥的体积为______．[解析]如图，记挖去的正三棱锥为正三棱锥P­ABC，则该正三棱锥的底面三角形ABC内接于半球底面的大圆，顶点P在半球面上．设BC的中点为D，连结AD，过点P作PO⊥平面ABC，交AD于点O，则AO＝PO＝2，AD＝3，AB＝BC＝23，所以S△ABC＝12×23×3＝33，所以挖去的正三棱锥的体积V＝13S△ABC×PO＝13×33×2＝23．[答案]2312．(2019·南京模拟)如图，已知△ABC为等腰直角三角形，斜边BC上的中线AD＝2，将△ABC沿AD折成60°的二面角，连结BC，则三棱锥C­ABD的体积为________．[解析]因为BD⊥AD，CD⊥AD，所以∠BDC即为二面角B­AD­C的平面角，即∠BDC＝π3．又因为BD＝DC＝2，所以三角形BDC面积为12×2×2×32＝3．又因为AD⊥平面BDC，所以V＝13AD×S△DBC＝233．[答案]23313．如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________．[解析]如图，过A，B两点分别作AM，BN垂直于EF，垂足分别为M，N，连结DM，CN，可证得DM⊥EF，CN⊥EF，多面体ABCDEF分为三部分，多面体的体积为VABCDEF＝VAMD­BNC＋VE­AMD＋VF­BNC．因为NF＝12，BF＝1，所以BN＝32．作NH垂直BC于点H，则H为BC的中点，则NH＝22．所以S△BNC＝12·BC·NH＝12×1×22＝24．所以VF­BNC＝13·S△BNC·NF＝224，VE­AMD＝VF­BNC＝224，VAMD­BNC＝S△BNC·MN＝24．所以VABCDEF＝23．[答案]2314．(2019·江苏四星级学校联考)如图，已知AB为圆O的直径，C为圆上一动点，PA⊥圆O所在的平面，且PA＝AB＝2，过点A作平面α⊥PB，分别交PB，PC于E，F，则三棱锥P­AEF的体积的最大值为________．[解析]在Rt△PAB中，PA＝AB＝2，所以PB＝22，因为AE⊥PB，所以AE＝12PB＝2，所以PE＝BE＝2．因为PA⊥底面ABC，得PA⊥BC，AC⊥BC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，可得AF⊥BC．因为AF⊥PC，BC∩PC＝C，所以AF⊥平面PBC．因为PB⊂平面PBC，所以AF⊥PB．因为AE⊥PB且AE∩AF＝A，所以PB⊥平面AEF，结合EF⊂平面AEF，可得PB⊥EF．因为AF⊥平面PBC，EF⊂平面PBC．所以AF⊥EF．所以在Rt△AEF中，设∠AEF＝θ，则AF＝2sinθ，EF＝2cosθ，所以S△AEF＝12AF·EF＝12×2sinθ×2cosθ＝12sin2θ，所以当sin2θ＝1，即θ＝45°时，S△AEF有最大值为12，此时，三棱锥P­AEF的体积的最大值为13×12×2＝26．[答案]26