（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 专题三 数列 高考热点追踪（三）学案 文 苏教版

高考热点追踪(三)交汇性试题，向来是高考试题中最为亮丽的风景线，这类问题着重考查观察发现，类比转化以及运用数学知识分析和解决数学问题的能力．下面举例说明数列的交汇性运用，请同学们赏析．一、数列与几何图形交汇(2019·南通模拟)如图是一个面积为1的三角形，现进行如下操作．第一次操作：分别连结这个三角形三边的中点，构成4个三角形，挖去中间一个三角形(如图①中阴影部分所示)，并在挖去的三角形上贴上数字标签“1”；第二次操作：连结剩余的三个三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形(如图②中阴影部分所示)，同时在挖去的3个三角形上都贴上数字标签“2”；第三次操作：连结剩余的各三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形，同时在挖去的三角形上都贴上数字标签“3”；……，如此下去．记第n次操作后剩余图形的总面积为an．(1)求a1、a2；(2)欲使剩余图形的总面积不足原三角形面积的14，问至少经过多少次操作？(3)求第n次操作后，挖去的所有三角形上所贴标签上的数字和Sn．【解】(1)a1＝34，a2＝916．(2)因为{an}是以34为首项，以34为公比的等比数列，所以an＝34n．由34n14，得3n4n－1．因为3140，3241，3342，3443，3544，所以当n＝5时，34n14．所以至少经过5次操作，可使剩余图形的总面积不足原三角形面积的14．(3)设第n次操作挖去bn个三角形，则{bn}是以1为首项，3为公比的等比数列，即bn＝3n－1．所以所有三角形上所贴标签上的数字的和Sn＝1×1＋2×3＋…＋n×3n－1，则3Sn＝1×3＋2×32＋…＋n×3n，两式相减，得－2Sn＝(1＋3＋32＋…＋3n－1)－n×3n＝3n－12－n×3n，故Sn＝n2－14×3n＋14．[名师点评]本题把几何问题与代数解法自然联系起来．从运算到推理，都要有很强的思维判断性和熟练的解题技能．合理的推断，能使解题简捷、运算简单，节约大量的解题时间，反之，则会因运算繁杂不断出错而无法进行下去，这体现了有较高的思维水平者因能善于运用思维而赢得解题时间，是高层次的解决问题能力的标志．二、数列与三角函数交汇已知函数f(x)＝32sin2x＋π6－12cos2x＋π6．(1)求函数f(x)的最小正周期与单调递减区间；(2)若函数g(x)＝fx2，x0且函数g(x)的图象与直线y＝32交点的横坐标由小到大依次是x1，x2，…，xn，求数列{xn}的前100项和．【解】f(x)＝32sin2x＋π6－12cos2x＋π6＝sin2x＋π6－π6＝sin2x．(1)函数f(x)的最小正周期T＝2π2＝π．令2kπ＋π2≤2x≤2kπ＋3π2，k∈Z，得kπ＋π4≤x≤kπ＋3π4，k∈Z，所以函数f(x)的单调递减区间为kπ＋π4，kπ＋3π4，k∈Z．(2)法一：因为g(x)＝fx2，所以g(x)＝sinx，x0．由sinx＝32，x0，得x＝2kπ＋π3，k∈N或x＝2kπ＋2π3，k∈N，所以x1＋x2＋…＋x99＋x100＝(x1＋x3＋x5＋…＋x99)＋(x2＋x4＋x6＋…＋x100)＝π3＋2π＋π3＋4π＋π3＋…＋98π＋π3＋2π3＋2π＋2π3＋4π＋2π3＋…＋98π＋2π3＝50π3＋98π＋π32＋502π3＋98π＋2π32＝50×198π2＝4950π．法二：因为g(x)＝fx2，所以g(x)＝sinx，x0．由正弦函数的对称性、周期性，可知x1＋x22＝π2，x3＋x42＝2π＋π2，x5＋x62＝4π＋π2，…，x99＋x1002＝98π＋π2，所以x1＋x2＋…＋x99＋x100＝π＋5π＋…＋193π＋197π＝50×（π＋197π）2＝4950π．[名师点评]高考试题力求以角度新、情境新、设问方式新的形式呈现．提高难度主要在于“新”，而不在“难”，“新”本身就已蕴涵“难”．把“新”作为关键，能够考查思维的灵活性和创造性，体现高考的选拔功能，本题很好地体现了这一特征．三、数列与向量交汇(2019·南京四校第一学期联考)已知向量a＝(x，－1)，b＝(xy，x－y)，若a⊥b，y＝f(x)．(1)求f(x)的表达式；(2)已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝13，a2n＋1＝2anf(an)(n∈N*)，求数列{an}的通项公式；(3)在(2)的条件下，设bn＝1a2n－1，Sn为数列{bn}的前n项和，求使Sn＞1278成立的n的最小值．【解】(1)由a⊥b，得x2y＋(－1)(x－y)＝0，所以y＝xx2＋1，则f(x)的表达式为f(x)＝xx2＋1．(2)由(1)知f(x)＝xx2＋1，所以a2n＋1＝2anf(an)＝2an·ana2n＋1＝2a2na2n＋1，因此1a2n＋1＝a2n＋12a2n＝12a2n＋12，所以1a2n＋1－1＝12a2n－12＝121a2n－1．又1a21－1＝9－1＝8≠0，所以数列1a2n－1是以8为首项，12为公比的等比数列，则1a2n－1＝8×12n－1＝24－n．又an＞0，所以an＝124－n＋1，则数列{an}的通项公式为an＝124－n＋1．(3)由(2)知数列1a2n－1是以8为首项，12为公比的等比数列，而bn＝1a2n－1，所以数列{bn}是以8为首项，12为公比的等比数列，因此数列{bn}的前n项和Sn＝81－12n1－12．