（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 专题六 概率、统计、复数、算法、推理与证明 高考热点追踪（六

高考热点追踪(六)1．复数1＋aii(a0)在复平面内对应的点在第________象限．[解析]1＋aii(a0)＝a－i，对应的点(a，－1)在第四象限．[答案]四2．(2019·南通市高三模拟)电视台组织中学生知识竞赛，共设有5类试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力．某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是________．[解析]依次记5类试题为A，B，C，D，E，则共有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10个事件，其中4个事件中含有“立德树人”主题，故所求概率P＝410＝25．[答案]253．(2019·南京调研)某校为了解高三同学暑假期间的学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天的平均学习时间，绘成频率分布直方图(如图)，则这100名同学中学习时间在6～8小时内的人数为________．[解析]由直方图知，学习时间在6～8小时内的频率为1－(0．04＋0．12＋0．14＋0．05)×2＝0．3，所以100名同学中学习时间在6～8小时内的人数为0．3×100＝30．[答案]304．(2019·成都质检改编)执行如图所示的程序框图，则输出s的值为________．[解析]第一次循环结束，得s＝0＋2＝2，k＝2×2－1＝3；第二次循环结束，得s＝2＋3＝5，k＝2×3－1＝5；第三次循环结束，得s＝5＋5＝10，k＝2×5－1＝9；第四次循环结束，得s＝10＋9＝19，k＝2×9－1＝1710，此时退出循环．故输出s的值为19．[答案]195．已知cosπ3＝12，cosπ5cos2π5＝14，cosπ7cos2π7cos3π7＝18，…，根据这些结果，猜想出的一般结论是________．[答案]cosπ2n＋1cos2π2n＋1…cosnπ2n＋1＝12n6．(2019·南通市高三模拟)将一颗骰子连续抛掷2次，向上的点数分别为m，n，则点P(m，n)在直线y＝12x下方的概率为________．[解析]点P(m，n)所有的结果有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36种，其中在直线y＝12x下方的情况有(3，1)，(4，1)，(5，1)，(5，2)，(6，1)，(6，2)，共6种，则所求概率为636＝16．[答案]167．(2019·苏州质检)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝________．[解析]由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．[答案]－g(x)8．(2019·江苏四星级学校联考)设A，B两名学生均从两位数学教师和两位英语教师中选择一位教师给自己补课，若A，B不选同一位教师，则学生A选择数学教师，学生B选择英语教师的概率为________．[解析]设两位数学教师用1，2表示，两位英语教师用3，4表示，不妨让A先选，B后选(不重复)，则他们所有的选择结果如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共12种情况，其中学生A选择数学教师，学生B选择英语教师(数学在前，英语在后)的结果有(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)共4种情况，所以所求概率为P＝13．[答案]139．(2019·泰州期末)数列{an}的前n项和是Sn，若数列{an}的各项按如下规律排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，16，…若存在整数k，使Sk10，Sk＋1≥10，则ak＝________．[解析]由题目可以看出同分母的和依次成等差数列，且公差为12．又12＋1＋32＋2＋52＋3＝10．510，此时最后一列数的分母为7，而10．5－6710，故ak＝57．[答案]5710．(2019·泸州模拟)学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A、B两种菜可供选择．调查表明，凡是在这星期一选A菜的，下星期一会有20%的可能改选B菜；而选B菜的，下星期一会有30%的可能改选A菜．用an表示第n个星期一选A菜的人数，如果a1＝428，则a6的值为________．[解析]依题意有：an＝45an－1＋310(500－an－1)＝12an－1＋150(n≥2，n∈N*)，即an－300＝12(an－1－300)(n≥2，n∈N*)，an＝128·12n－1＋300．因此a6＝128·125＋300＝304．[答案]30411．随机抽取某中学高三年级甲、乙两班各10名同学，测量出他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损．(1)若已知甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；(2)现从乙班这10名同学中随机抽取2名身高不低于173cm的同学，求身高176cm的同学被抽中的概率．[解](1)甲班同学身高的平均数x－＝158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋a＋18210＝170．解得a＝179，所以污损处是9．(2)设“身高176cm的同学被抽中”的事件为A，从乙班10名同学中抽取2名身高不低于173cm的同学有{181，173}，{181，176}，{181，178}，{181，179}，{179，173}，{179，176}，{179，178}，{178，173}，{178，176}，{176，173}，10个基本事件．而事件A含有4个基本事件，所以P(A)＝410＝25．12．观察下列三角形数表，假设第n行的第二个数为an(n≥2，n∈N*)．(1)依次写出第六行的所有6个数字；(2)归纳出an＋1与an的关系式并求出an的通项公式．[解](1)第六行的所有6个数字分别是6，16，25，25，16，6．(2)依题意an＋1＝an＋n(n≥2)，a2＝2，an＝a2＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2＋2＋3＋…＋(n－1)＝2＋（n－2）（n＋1）2．所以an＝12n2－12n＋1(n≥2)．13．已知f(x)＝ax2＋bx＋c，若a＋c＝0，f(x)在[－1，1]上的最大值为2，最小值为－52．求证：a≠0且ba2．[证明]假设a＝0或ba≥2．(1)当a＝0时，由a＋c＝0，得f(x)＝bx，显然b≠0．由题意得f(x)＝bx在[－1，1]上是单调函数，所以f(x)的最大值为|b|，最小值为－|b|．由已知条件，得|b|＋(－|b|)＝2－52＝－12，这与|b|＋(－|b|)＝0相矛盾，所以a≠0．(2)当ba≥2时，由二次函数的对称轴为x＝－b2a，知f(x)在[－1，1]上是单调函数，故其最值在区间的端点处取得．所以f（1）＝a＋b＋c＝2，f（－1）＝a－b＋c＝－52，或f（1）＝a＋b＋c＝－52，f（－1）＝a－b＋c＝2．又a＋c＝0，则此时b无解，所以ba2．由(1)(2)，得a≠0且ba2．14．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对任意x∈(0，＋∞)，恒有f(kx)＝kf(x)(k≥2，k∈N*)成立，则称f(x)为k阶缩放函数．(1)已知函数f(x)为二阶缩放函数，且当x∈(1，2]时，f(x)＝1＋log12x，求f(22)的值；(2)已知函数f(x)为二阶缩放函数，且当x∈(1，2]时，f(x)＝2x－x2，求证：函数y＝f(x)－x在(1，8)上无零点．[解](1)由2∈(1，2]得，f(2)＝1＋log122＝12，由题中条件得f(22)＝2f(2)＝2×12＝1．(2)证明：当x∈(2i，2i＋1](i＝0，1，2)时，x2i∈(1，2]，依题意可得：f(x)＝2fx2＝22fx22＝…＝2ifx2i＝2i2·x2i－x2i2＝2i＋1x－x2．方程f(x)－x＝0⇔2i＋1x－x2＝x⇔x＝0或x＝2i，0与2i均不属于(2i，2i＋1](i＝0，1，2)，当x∈(2i，2i＋1](i＝0，1，2)时，方程f(x)－x＝0无实数解．注意到(1，8)＝(20，21]∪(21，22]∪(22，23)，所以函数y＝f(x)－x在(1，8)上无零点．