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第1讲概率1．(2019·苏北四市高三模拟)若随机安排甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天值班的概率为________．[解析]3人值班的情况有(甲，乙，丙)、(甲，丙，乙)、(乙，甲，丙)、(乙，丙，甲)、(丙，甲，乙)、(丙，乙，甲)，共6种，其中甲与丙都不在第一天值班的情况有(乙，甲，丙)、(乙，丙，甲)，共2种，故所求的概率为26＝13．[答案]132．(2019·无锡市高三模拟)从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则取出的数中一个是奇数一个是偶数的概率为________．[解析]从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数有以下6种可能：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，取出的数中一个是奇数一个是偶数有4种可能：(1，2)，(1，4)，(2，3)，(3，4)，故由古典概型的概率计算公式可得取出的数中一个是奇数一个是偶数的概率为23．[答案]233．(2019·无锡期末)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．[解析]记两本数学书为1，2，1本语文书为3，则将它们排成一行的所有基本事件为(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，共6个基本事件，其中2本数学书相邻的基本事件有(1，2，3)，(2，1，3)，(3，1，2)，(3，2，1)，共4个基本事件，故所求的概率为P＝46＝23．[答案]234．(2019·苏州市高三调研测试)一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0．2，目标未受损的概率为0．4，则目标受损但未完全击毁的概率为________．[解析]目标受损但未完全击毁的概率为1－(0．2＋0．4)＝0．4[答案]0．45．(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(二))某饮品店提供A，B两种口味的饮料，且每种饮料均有大杯、中杯、小杯三种．甲、乙两人随机各点一杯饮料，且甲只点大杯，乙点中杯或小杯，则甲和乙恰好点了同一种口味饮料的大杯和小杯的概率为________．[解析]“甲、乙两人随机各点一杯饮料，且甲只点大杯，乙点中杯或小杯”共有8种等可能基本事件，分别为(A大，A中)，(A大，A小)，(A大，B中)，(A大，B小)，(B大，A中)，(B大，A小)，(B大，B中)，(B大，B小)，其中“甲和乙恰好点了同一种口味饮料的大杯和小杯”包括2种情况为(A大，A小)，(B大，B小)，所以所求概率P＝28＝14．[答案]146．(2019·南通模拟)同时抛掷两枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)，观察向上的点数，则两个点数之积不小于4的概率为________．[解析]基本事件有36种，其中两个点数之积小于4的有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(3，1)，共计5种，故两个点数之积小于4的概率为536，故不小于4的概率为1－536＝3136．[答案]31367．(2019·南京模拟)如图，六边形ABCDEF是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则该点恰好在图中阴影部分的概率是________．[解析]设正六边形的中心为点O，BD与AC交于点G，BC＝1，则BG＝CG，∠BGC＝120°，在△BCG中，由余弦定理得1＝BG2＋BG2－2BG2cos120°，得BG＝33，所以S△BCG＝12×BG×BG×sin120°＝12×33×33×32＝312，因为S六边形ABCDEF＝S△BOC×6＝12×1×1×sin60°×6＝332，所以该点恰好在图中阴影部分的概率是1－6S△BCGS正六边形ABCDEF＝23．[答案]238．(2019·江苏省高考名校联考信息卷(六))在区间(0，3)上随机取一个数a，使得函数y＝ax(a0)是增函数的概率为________．[解析]要使函数y＝ax(a0)是增函数，则需a1，又a∈(0，3)，所以所求概率为3－13＝23．[答案]239．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．[解析]由题意得an＝(－3)n－1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以P＝610＝35．[答案]3510．(2019·江苏名校高三入学摸底)已知集合A＝{x|x＝sinnπ4，n∈N*，1≤n≤8}，若从集合A中任取一个元素x，则满足x2≤12的概率为________．[解析]由已知得，集合A＝{x|x＝sinnπ4，n∈N*，1≤n≤8}＝{0，1，22，－1，－22}，由x2≤12解得－22≤x≤22，集合A中满足x2≤12的元素有0，22，－22，则由古典概型的概率计算公式可知P＝35．[答案]3511．袋中装有大小相同且形状一样的四个球，四个球上分别标有“2”“3”“4”“6”这四个数．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是________．[解析]从四个不同的数中选三个的情况有(2，3，4)，(2，3，6)，(2，4，6)，(3，4，6)，共四种，满足成等差数列的情况有(2，3，4)和(2，4，6)，共两种．故所求概率为24＝12．[答案]1212．(2019·江苏高考信息卷)设连续抛掷两次骰子得到的点数分别为x，y，若平面向量a＝(x，y)，b＝(－2，1)，则|a||b|的概率为________．[解析]法一：由题意知，x∈{1，2，3，4，5，6}，y∈{1，2，3，4，5，6}，故(x，y)所有可能的取法共36种，列表如下：其中，满足|a||b|的(x，y)的取法共有33种(表中斜线部分)，则所求概率P＝3336＝1112．法二：由题意知，x∈{1，2，3，4，5，6}，y∈{1，2，3，4，5，6}，故(x，y)所有可能的取法共36种．若|a|≤|b|，即x2＋y2≤5，所以满足|a|≤|b|的(x，y)的取法共有3种：(1，1)、(1，2)、(2，1)，故|a||b|的概率P＝1－336＝1112．[答案]111213．(2019·武汉武昌区调研)已知函数f(x)＝13x3－(a－1)x2＋b2x，其中a∈{1，2，3，4}，b∈{1，2，3}，则函数f(x)在R上是增函数的概率为________．[解析]f′(x)＝x2－2(a－1)x＋b2，若函数f(x)在R上是增函数，则对于任意x∈R，f′(x)≥0恒成立，所以Δ＝4(a－1)2－4b2≤0，即(a－1)2≤b2．a，b所有的取值情况有4×3＝12(种)，若满足(a－1)2≤b2，则当a＝1时，b＝1，2，3，当a＝2时，b＝1，2，3，当a＝3时，b＝2，3，当a＝4时，b＝3，共有3＋3＋2＋1＝9(种)情况，所以所求概率为912＝34．[答案]3414．(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(七))若一次函数f(x)＝2ax－5满足a∈[－3，2]且a≠0，则f(x)≤0在x∈[0，2]上恒成立的概率为________．[解析]由题意可得函数f(x)＝2ax－5≤0在x∈[0，2]上恒成立，当x＝0时，－5≤0，显然恒成立；当x∈(0，2]时，可化为a≤52x，而y＝52x在x∈(0，2]上的最小值为54，所以a≤54，结合a∈[－3，2]且a≠0，得a∈[－3，0)∪(0，54]，由几何概型的概率计算公式可得f(x)≤0在x∈[0，2]上恒成立的概率P＝（54－0）＋[0－（－3）]（2－0）＋[0－（－3）]＝1720．[答案]1720