（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 专题二 三角函数与平面向量 第3讲 平面向量练习 文 苏教版

第3讲平面向量1．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________．[解析]由题意知a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以λ＝－k，1＝3k，解得k＝13，λ＝－13．[答案]－132．(2019·江苏名校高三入学摸底)已知平面向量a，b是互相垂直的单位向量，且c·a＝c·b＝－1，则|a－2b＋3c|＝________．[解析]设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，则c·a＝x＝－1，c·b＝y＝－1，所以c＝(－1，－1)，所以a－2b＋3c＝(－2，－5)，所以|a－2b＋3c|＝（－2）2＋（－5）2＝29．[答案]293．(2019·南京、盐城高三模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝13，DC→＝2BD→，则AD→·BC→的值为________．[解析]由DC→＝2BD→，得AD→＝13(AC→＋2AB→)，又BC→＝AC→－AB→，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝13，所以AD→·BC→＝13(AC→＋2AB→)·(AC→－AB→)＝13(－9＋3)＝－2．[答案]－24．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角θ＝________．[解析]因为a·(b－a)＝a·b－a2＝2，所以a·b＝2＋a2＝3．所以cosθ＝a·b|a|·|b|＝31×6＝12．所以向量a与b的夹角为π3．[答案]π35．(2019·无锡市高三模拟)已知平面向量α，β满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则α的模的取值范围为________．[解析]法一：由|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，作向量OA→＝α，AB→＝β－α，则OB→＝β，在△OAB中，∠OAB＝180°－120°＝60°，OB＝1，则由正弦定理OBsin60°＝OAsin∠ABO，得OA＝233sin∠ABO∈0，233，即0|α|≤233．法二：设|α|＝u，|β－α|＝v，由|β|2＝|α＋(β－α)|2＝α2＋2α·(β－α)＋(β－α)2，得v2－uv＋u2－1＝0，再由关于v的一元二次方程有解，得u2－4(u2－1)≥0，又u0，故0u≤233，即0|α|≤233．[答案]0，2336．(2019·高三第一次调研测试)在平面四边形ABCD中，AB＝1，DA＝DB，则AB→·AC→＝3，AC→·AD→＝2，则|AC→＋2AD→|的最小值为______．[解析]以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A－12，0，B12，0．设D(0，b)，C(m，n)，则AB→·AC→＝(1，0)·m＋12，n＝m＋12＝3，解得m＝52，AC→·AD→＝(3，n)·12，b＝32＋nb＝2，得nb＝12．易得AC→＋2AD→＝(4，n＋2b)，则|AC→＋2AD→|＝16＋（n＋2b）2≥16＋8nb＝25，当且仅当n＝2b时取等号，故|AC→＋2AD→|的最小值为25．[答案]257．(2019·南通市高三模拟)如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3．点B，C分别在m，n上，|AB→＋AC→|＝5，则AB→·AC→的最大值是________．[解析]以直线n为x轴，过点A且垂直于n的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则A(0，3)，设C(c，0)，B(b，2)，则AB→＝(b，－1)，AC→＝(c，－3)，从而(b＋c)2＋(－4)2＝52，即(b＋c)2＝9，又AB→·AC→＝bc＋3≤（b＋c）24＋3＝214，当且仅当b＝c时取等号．[答案]2148．(2019·南京高三模拟)在凸四边形ABCD中，BD＝2，且AC→·BD→＝0，(AB→＋DC→)·(BC→＋AD→)＝5，则四边形ABCD的面积为________．[解析](AB→＋DC→)·(BC→＋AD→)＝(CB→－CA→＋DC→)·(DC→－DB→＋AD→)＝(DB→＋AC→)·(AC→－DB→)＝AC2→－DB2→＝5，即AC2－BD2＝5．因为BD＝2，所以AC＝3，所以四边形ABCD的面积为12AC×BD＝12×2×3＝3．[答案]39．(2019·江苏省高考名校联考信息卷(一))如图，点A，B，C在半径为5的圆O上，E是OA的中点，AB＝8，AC＝6，CE→＝xAB→＋yAC→(x，y是实数)，则CE→·AE→x－y．