（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 专题二 三角函数与平面向量 第2讲 三角变换、解三角形练习

第2讲三角变换、解三角形1．(2019·南通市高三模拟)已知sinx＋π6＝13，则sinx－5π6＋sin2π3－x的值为________．[解析]sinx－5π6＝sinx＋π6－π＝－sinx＋π6＝－13，sin2π3－x＝sin2π2－x＋π6＝cos2x＋π6＝89，则sinx－5π6＋sin2π3－x＝－13＋89＝59．[答案]592．(2019·扬州模拟)若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC的形状为________．[解析]由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC外接圆半径)及已知条件sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，可设a＝5x，b＝11x，c＝13x(x0)．则cosC＝（5x）2＋（11x）2－（13x）22·5x·11x＝－23x2110x20，所以C为钝角，所以△ABC为钝角三角形．[答案]钝角三角形3．(2019·江苏省高考名校联考(二))若cosπ6＋αcosπ3－α＝－14，α∈π3，π2，则sin2α＝________．[解析]cosπ6＋αcosπ3－α＝32cosα－12sinα·12cosα＋32sinα＝－14，则34cos2α＋14sin2α＝－14，可得3cos2α＋sin2α＝－1，cos22α＋sin22α＝1，又α∈π3，π2，解得cos2α＝－32，sin2α＝12．[答案]124．(2019·无锡模拟)计算sin110°sin20°cos2155°－sin2155°的值为________．[解析]sin110°sin20°cos2155°－sin2155°＝sin70°sin20°cos310°＝cos20°sin20°cos50°＝12sin40°sin40°＝12．[答案]125．在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值是________．[解析]由tanA·tanB＝tanA＋tanB＋1，可得tanA＋tanB1－tanA·tanB＝－1，即tan(A＋B)＝－1，所以A＋B＝3π4，则C＝π4，cosC＝22．[答案]226．(2019·南京市四校第一学期联考)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b＝a＋c，若sinB＝45，cosB＝9ac，则b的值为________．[解析]因为2b＝a＋c，sinB＝45，cosB＝9ac，sin2B＋cos2B＝1，所以ac＝15，所以b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－48＝4b2－48，得b＝4．[答案]47．已知cosθ＝－725，θ∈(－π，0)，则sinθ2＋cosθ2＝________________________________________________________________________．[解析]因为θ∈(－π，0)，所以sinθ＝－1－cos2θ＝－2425，因为sinθcosθ0，所以θ∈－3π4，－π2，θ2∈－3π8，－π4，所以－1sinθ2－22，0cosθ222，故sinθ2＋cosθ20，sinθ2＋cosθ2＝－sinθ2＋cosθ22＝－1＋sinθ＝－15．[答案]－158．(2019·苏州第一次调研)已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的对边，a＝4，b∈(4，6)，sin2A＝sinC，则c的取值范围为________．[解析]由4sinA＝csinC，得4sinA＝csin2A，所以c＝8cosA，因为16＝b2＋c2－2bccosA，所以16－b2＝64cos2A－16bcos2A，又b≠4，所以cos2A＝16－b264－16b＝（4－b）（4＋b）16（4－b）＝4＋b16，所以c2＝64cos2A＝64×4＋b16＝16＋4b．因为b∈(4，6)，所以32c240，所以42c210．[答案](42，210)9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝23，c＝22，1＋tanAtanB＝2cb，则C＝________．[解析]由1＋tanAtanB＝2cb和正弦定理得cosAsinB＋sinAcosB＝2sinCcosA，即sinC＝2sinCcosA，因为在三角形中sinC≠0，所以cosA＝12，则A＝60°．由正弦定理得23sinA＝22sinC，则sinC＝22，又ca，则C60°，故C＝45°．[答案]45°10．(2019·扬州市第一学期期末检测)设a，b是非零实数，且满足asinπ7＋bcosπ7acosπ7－bsinπ7＝tan10π21，则ba＝______．[解析]因为asinπ7＋bcosπ7acosπ7－bsinπ7＝tan10π21，所以asinπ7＋bcosπ7acosπ7－bsinπ7＝sin10π21cos10π21，所以acos10π21sinπ7＋bcos10π21cosπ7＝asin10π21cosπ7－bsin10π21sinπ7，所以a(sin10π21cosπ7－cos10π21·sinπ7)＝b(cos10π21cosπ7＋sin10π21sinπ7)，即asin(10π21－π7)＝bcos(10π21－π7)，asinπ3＝bcosπ3，所以ba＝tanπ3＝3．[答案]311．在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°．(1)求BC的长；(2)求sin2C的值．[解](1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC＝7．(2)由正弦定理知，ABsinC＝BCsinA，所以sinC＝ABBC·sinA＝2sin60°7＝217．因为AB＜BC，所以C为锐角，则cosC＝1－sin2C＝1－37＝277．因此sin2C＝2sinC·cosC＝2×217×277＝437．12．(2019·南通市高三模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab．(1)求角C的大小；(2)若c＝2acosB，b＝2，求△ABC的面积．[解](1)在△ABC中，由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得a2＋b2－c22ab＝－12，即cosC＝－12．因为0Cπ，所以C＝2π3．(2)法一：因为c＝2acosB，由正弦定理，得sinC＝2sinAcosB，因为A＋B＋C＝π，所以sinC＝sin(A＋B)，所以sin(A＋B)＝2sinAcosB，即sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0，又－π3A－Bπ3，所以A－B＝0，即A＝B，所以a＝b＝2．所以△ABC的面积为S△ABC＝12absinC＝12×2×2×sin2π3＝3．法二：由c＝2acosB及余弦定理，得c＝2a×a2＋c2－b22ac，化简得a＝b，所以△ABC的面积为S△ABC＝12absinC＝12×2×2×sin2π3＝3．13．(2019·南京市高三年级第三次模拟考试)已知a，b，c分别是△ABC三个角A，B，C所对的边，且满足acosB＋bcosA＝ccosAcosC．(1)求证：A＝C；(2)若b＝2，BA→·BC→＝1，求sinB的值．[解](1)由正弦定理，得sinAcosB＋sinBcosA＝sinCcosAcosC，即(sinAcosB＋sinBcosA)cosC＝sin(A＋B)cosC＝sinCcosA．因为A＋B＝π－C，所以sin(A＋B)＝sinC，所以sinCcosC＝sinCcosA．因为C是△ABC的内角，所以sinC≠0，所以cosC＝cosA．又A，C是△ABC的内角，所以A＝C．(2)由(1)知，A＝C，所以a＝c，所以cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2－2a2．因为BA→·BC→＝1，所以a2cosB＝a2－2＝1，所以a2＝3．所以cosB＝13．又B∈(0，π)，所以sinB＝1－cos2B＝223．14．(2019·江苏省高考名校联考(四))已知在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且acosA＋bcosB＝ccosC．(1)证明：cosAcosB＝cosC；(2)若b2＋c2－a2＝23bc，求tanC的值．[解](1)证明：因为acosA＋bcosB＝ccosC，所以由正弦定理可知sinAcosA＋sinBcosB＝sinCcosC，即sinAcosB＋cosAsinBcosAcosB＝sin（A＋B）cosAcosB＝sinCcosC．因为在△ABC中，sin(A＋B)＝sinC≠0，所以cosAcosB＝cosC．(2)因为b2＋c2－a2＝23bc，根据余弦定理可知cosA＝b2＋c2－a22bc＝13，因为A为三角形的内角，所以sinA＝223，tanA＝22．由cosAcosB＝cosC和A＋B＋C＝π得，cosAcosB＝cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB，所以2cosAcosB＝sinAsinB，所以tanAtanB＝2，由tanA＝22得，tanB＝22，所以tanC＝－tan(A＋B)＝－tanA＋tanB1－tanAtanB＝522．