（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 专题二 三角函数与平面向量 第1讲 三角函数的图象与性质学案

第1讲三角函数的图象与性质[2019考向导航]考点扫描三年考情考向预测2019201820171．三角函数的图象与解析式江苏近几年高考三角函数试题一般是一个小题一个大题，大题一般都为基础题，处在送分题的位置．从高考命题内容来看，三角函数的图象和性质，尤其是三角函数的周期、最值、单调性、图象变换、特征分析(对称轴、对称中心)等是命题热点．2．三角函数的图象与性质第7题第16题1．必记的概念与定理(1)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα．(2)诱导公式：在kπ2＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．(3)三角函数的图象及常用性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象单调性在－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上单调递增；在π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)上单调递减在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减在－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上单调递增对称性对称中心：(kπ，对称中心：π2＋kπ，0对称中心：kπ2，00)(k∈Z)；对称轴：x＝π2＋kπ(k∈Z)(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z)(k∈Z)2．记住几个常用的公式与结论对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)要记住下面几个常用结论：(1)定义域：R．(2)值域：[－A，A]．当x＝2kπ＋π2－φω(k∈Z)时，y取最大值A；当x＝2kπ－π2－φω(k∈Z)时，y取最小值－A．(3)周期性：周期函数，最小正周期为2πω．(4)单调性：单调递增区间是2kπ－π2－φω，2kπ＋π2－φω(k∈Z)；单调递减区间是2kπ＋π2－φω，2kπ＋3π2－φω(k∈Z)．(5)对称性：函数图象与x轴的交点是对称中心，即对称中心是kπ－φω，0(k∈Z)，对称轴与函数图象的交点纵坐标是函数的最值，即对称轴是直线x＝kπ＋π2－φω，其中k∈Z．(6)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)中，A影响函数图象的最高点和最低点，即函数的最值；ω影响函数图象每隔多少长度重复出现，即函数的周期；φ影响函数的初相．(7)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象，相邻的两个对称中心或两条对称轴相距半个周期；相邻的一个对称中心和一条对称轴相距周期的四分之一．3．需要关注的易错易混点三角函数图象平移问题(1)看平移要求：看到这类问题，首先要看题目要求由哪个函数平移到哪个函数，这是判断移动方向的关键点．(2)看移动方向：在学习中，移动的方向一般我们会记为“正向左，负向右”，其实，这样不理解的记忆是很危险的．上述规则不是简单地看y＝Asin(ωx＋φ)中φ的正负，而是和它的平移要求有关．正确地理解应该是：平移变换中，将x变换为x＋φ，这时才是“正向左，负向右”．(3)看移动单位：在函数y＝Asin(ωx＋φ)中，周期变换和相位变换都是沿x轴方向的，所以ω和φ之间有一定的关系，φ是初相位，再经过ω的压缩，最后移动的单位是|φω|．三角函数的图象与解析式[典型例题](1)(2018·高考江苏卷)已知函数y＝sin(2x＋φ)－π2φπ2的图象关于直线x＝π3对称，则φ的值是________．(2)(2019·江苏省高考名校联考(八))已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则f－5π12的值为________．【解析】(1)由函数y＝sin(2x＋φ)－π2φπ2的图象关于直线x＝π3对称，得sin2π3＋φ＝±1，因为－π2φπ2，所以π62π3＋φ7π6，则2π3＋φ＝π2，φ＝－π6．(2)由函数f(x)的部分图象可知，A＝2，12T＝2π3－π6＝π2，得T＝π，所以ω＝2．当x＝π6时，f(x)＝2，即sin(2×π6＋φ)＝1，又|φ|π2，所以φ＝π6，故f(x)＝2sin(2x＋π6)，所以f(－5π12)＝2sin(－5π6＋π6)＝2sin(－2π3)＝－3．【答案】(1)－π6(2)－3确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A0，ω0)的步骤和方法(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m2，b＝M＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝2πT；(3)求φ：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间还是在下降区间)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)是ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)是ωx＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)是ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)是ωx＋φ＝3π2；“第五点”是ωx＋φ＝2π．[对点训练]1．定义在区间[0，3π]上的函数y＝sin2x的图象与y＝cosx的图象的交点个数是________．[解析]由sin2x＝cosx可得cosx＝0或sinx＝12，又x∈[0，3π]，则x＝π2，3π2，5π2或x＝π6，5π6，13π6，17π6，故所求交点个数是7．[答案]72．(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(四))已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，0φπ)的部分图象如图所示，其中M，N是图象与x轴的交点，K是图象的最高点，若点M的坐标为(3，0)且△KMN是面积为3的正三角形，则f－13＝________．[解析]由正三角形KMN的面积为3知，△KMN的边长为2，高为3，即A＝3，最小正周期T＝2×2＝4，ω＝2πT＝2π4＝π2，又M(3，0)，MN＝2，所以π2×4＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，φ＝2kπ－3π2，k∈Z，又0φπ，所以φ＝π2，即f(x)＝3sinπ2x＋π2＝3cosπ2x，f－13＝3cos－π6＝32．[答案]32三角函数的图象与性质[典型例题](2019·南京、盐城高三模拟)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，－π2φπ2，x∈R的部分图象如图所示．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)当x∈－π2，π2时，求f(x)的取值范围．【解】(1)由图象及A0知，A＝2．又T4＝5π6－π3＝π2，ω0，所以T＝2π＝2πω，得ω＝1．所以f(x)＝2sin(x＋φ)．将点π3，2代入，得π3＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，即φ＝π6＋2kπ(k∈Z)，又－π2φπ2，所以φ＝π6．所以f(x)＝2sinx＋π6．(2)当x∈－π2，π2时，x＋π6∈－π3，2π3，所以sinx＋π6∈－32，1，即f(x)∈[－3，2]．在江苏高考中，三角函数试题主要以两种形式出现：一是注重考查三角函数定义、性质、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识；二是以基本三角函数图象和正弦型函数、余弦型函数图象为载体，全面考查三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、图象变换等基础知识，即考查三角函数图象性质和数形结合思想等．[对点训练]3．(2019·合肥模拟)设函数f(x)＝sinπx3－π6－2cos2πx6．(1)求y＝f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，当x∈[0，1]时，求函数y＝g(x)的最大值．[解](1)由题意知f(x)＝32sinπx3－32cosπx3－1＝3sinπx3－π3－1，所以y＝f(x)的最小正周期T＝2ππ3＝6．由2kπ－π2≤πx3－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得6k－12≤x≤6k＋52，k∈Z，所以y＝f(x)的单调递增区间为6k－12，6k＋52，k∈Z．(2)因为函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以当x∈[0，1]时，y＝g(x)的最大值即为x∈[3，4]时，y＝f(x)的最大值，当x∈[3，4]时，π3x－π3∈2π3，π，sinπ3x－π3∈0，32，f(x)∈－1，12，即当x∈[0，1]时，函数y＝g(x)的最大值为12．1．函数y＝tanx－π4的定义域是________．[解析]因为x－π4≠kπ＋π2，所以x≠kπ＋3π4，k∈Z．[答案]x|x≠kπ＋3π4，k∈Z2．(2019·徐州模拟)函数y＝cosπ4－2x的单调减区间为________．[解析]由y＝cosπ4－2x＝cos2x－π4得2kπ≤2x－π4≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ＋π8≤x≤kπ＋5π8(k∈Z)．所以函数的单调减区间为kπ＋π8，kπ＋5π8(k∈Z)．[答案]kπ＋π8，kπ＋5π8(k∈Z)3．(2019·镇江市高三调研考试)定义在0，π2的函数f(x)＝8sinx－tanx的最大值为________．[解析]f′(x)＝8cosx－cos2x＋sin2xcos2x＝8cos3x－1cos2x，令f′(x)＝0，得cosx＝12，又x∈0，π2，所以x＝π3，且当x∈0，π3时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈π3，π2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以fπ3是f(x)的极大值，也是最大值，故f(x)max＝fπ3＝33．[答案]334．(2019·苏北三市高三模拟)已知函数f(x)＝sinx(x∈[0，π])和函数g(x)＝12tanx的图象交于A，B，C三点，则△ABC的面积为________．[解析]由题意知，x≠π2，令sinx＝12tanx，可得sinx＝sinx2cosx，x∈0，π2∪π2，π，可得sinx＝0或cosx＝12，则x＝0或π或π3，不妨设A(0，0)，B(π，0)，Cπ3，32，则△ABC的面积为12π×32＝34π．[答案]34π5．(2019·江苏名校高三入学摸底)已知在矩形ABCD中，AB⊥x轴，且矩形ABCD恰好能完全覆盖函数y＝acos(aπx)＋b(a，b∈R，a≠0)的一个完整周期的图象，则当a变化时，矩形ABCD的面积为________．[解析]由题意得，矩形ABCD的边长分别为函数y＝acos(aπx)＋b(a，b∈R，a≠0)的最小正周期2a和|2a|，故此矩形的面积为2a×|2a|＝4．[答案]46．(2019·山西四校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则y＝fx＋π6取得最小值时x的集合为________．[解析]根据所给图象，周期T＝4×7π12－π3＝π，故π＝2πω，所以ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，另外图象经过7π12，0，代入有2×7π12＋φ＝kπ(k∈Z)，再由|φ|＜π2，得φ＝－π6，所以fx＋π6＝sin2x＋π6，当2x＋π6＝－π2＋2kπ(k∈Z)，即x＝－π3＋kπ(k∈Z)时，y＝fx＋π6取得最小值．[答案]x|x＝kπ－π3，k∈Z7．(2019·南京模拟)已知函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω0，0φπ)为奇函数，A(a，0)，B(b，0)是其图象上两点，若|a－b|的最小值是1，则f16＝________．[解析]因为函数f(x)＝4cos(ω