（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 第三部分 考前高效提分策略 第1讲 数学思想学案 文 苏教版

第1讲数学思想数学思想是数学的基本观点，是对数学概念、数学方法和数学发现等的本质认识．在解题中主要运用的数学思想有函数与方程思想，数形结合思想，分类讨论思想，转化与化归思想等．数学思想的学习与应用主要有以下两个难点：一是不会从数学思想的角度去分析问题，二是虽然有时运用有关数学思想去解决问题，但方法欠恰当，想法欠成熟．一函数与方程思想函数与方程思想在高考试题中六个方面的思考点和切入点(1)构造等式关系，从函数或方程角度，选择主从变量，直接找到函数或利用二次方程探求出函数性质，再利用函数性质和图象解题；(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y0时，就转化为不等式f(x)0，借助于函数图象与性质可以解决；(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数n的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；(4)函数f(x)＝(ax＋b)n(n∈N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数，结合赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，且均涉及二次方程与二次函数的有关理论；(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．已知椭圆C1：x29＋y24＝1和圆C2：x2＋(y＋1)2＝r2(r0)，若两条曲线没有公共点，求r的取值范围．【解】思路一：用函数思想来思考．从C1和C2的方程中消去一个未知数，比如消去x，得到一个关于y的方程－54y2＋2y＋10－r2＝0，①由方程①变形为r2＝－54y2＋2y＋10．把r2＝－54y2＋2y＋10看作y的函数．由椭圆C1可知，－2≤y≤2，因此，求使圆C2与椭圆C1有公共点的r的集合，等价于在定义域为[－2，2]的情况下，求函数r2＝f(y)＝－54y2＋2y＋10的值域．由f(－2)＝1，f(2)＝9，f45＝545，可得f(y)的值域是r2∈1，545，即r∈1，545，它的补集就是圆C2与椭圆C1没有公共点的r的集合，因此，两条曲线没有公共点的r的取值范围是0r1或r3305．思路二：用方程思想来思考．从C1和C2的方程中消去一个未知数，比如消去x，得到一个关于y的方程－54y2＋2y＋10－r2＝0，两条曲线没有公共点，等价于方程－54y2＋2y＋10－r2＝0或者没有实数根，或者两个根y1，y2∉[－2，2]．若没有实数根，则Δ＝4－4－54(10－r2)0,解得r545或r－545(由r0，知r－545应舍去)．若两个根y1，y2∉[－2，2]，设φ(y)＝－54y2＋2y＋10－r2，则φ（2）＝9－r20，φ（－2）＝1－r20．解得0r1．因此，两条曲线没有公共点的r的取值范围是0r1或r3305．[名师点评]本题难在由两个曲线方程联立消去一个未知数得到等式后不会处理，或处理方式不当，导致解法出错．对于一个含变量限制条件问题的处理，转化为函数问题研究比研究方程的根会更好．(2019·南通模拟)已知集合M＝{(x，y)|(x＋x2＋1)(y＋y2＋1)＝1}，则集合M表示的图形是________．【解析】思路一：把式子中的字母x，y看作变量，把等式中出现的代数式看作函数．等式化为x＋x2＋1＝1y＋y2＋1＝－y＋y2＋1．构造函数f(x)＝x＋x2＋1(x∈R)，则上式就是f(x)＝f(－y)，由于，函数f(x)＝x＋x2＋1(x∈R)为R上的增函数，则x＝－y，即x＋y＝0．所以，集合M表示的图形是直线．思路二：构造一个常见的函数g(x)＝lg(x＋x2＋1)(x∈R)，则g(x)为R上的增函数，且为奇函数．又已知等式可化为g(x)＋g(y)＝lg(x＋x2＋1)＋lg(y＋y2＋1)＝lg1＝0．于是有g(x)＝－g(y)＝g(－y)，因此x＝－y，即x＋y＝0．所以，集合M表示的图形是直线．思路三：以方程的知识为切入点，设s＝x＋x2＋1，t＝y＋y2＋1，于是，s，t分别是方程s2－2xs－1＝0，t2－2yt－1＝0的正根．由此可得s－2x－1s＝0，t－2y－1t＝0，相加得，s＋t－2(x＋y)－s＋tst＝0，又st＝1，所以x＋y＝0．所以，集合M表示的图形是直线．【答案】直线[名师点评]本题难在对所给的式子不会化简，导致半途而废．因为所给式子中有两个变量x，y，如果把所给等式进行整理x＋x2＋1＝1y＋y2＋1＝－y＋y2＋1，不难发现能构造函数f(x)＝x＋x2＋1(x∈R)来解决．高考中的压轴题往往需要站在数学思想的角度来研究，蛮干是不行的．本题思路三对于学生来说要求比较高，仅供同学们赏析．已知m，n是正整数，且1＜m＜n．证明：(1＋m)n＞(1＋n)m．【证明】(1＋m)n(1＋n)m⇔nln(1＋m)mln(1＋n)⇔ln（1＋m）mln（1＋n）n．因此，可以构造函数g(x)＝ln（1＋x）x(x≥2)．只要证明g(x)＝ln（1＋x）x为减函数即可．由g′(x)＝x[1－ln（1＋x）]－ln（1＋x）x2（1＋x）0，则g(x)＝ln（1＋x）x为减函数，由2≤mn可得g(m)g(n)，因而ln（1＋m）mln（1＋n）n，于是，(1＋m)n＞(1＋n)m成立．[名师点评]本题难在对要证明的结论与条件不会正确沟通，无法找到联系，导致找不到解法．有些看起来不像函数问题，如果通过恰当变形，构造函数，往往会得到妙解．已知α，β，γ都是锐角，且满足cos2α＋cos2β＋cos2γ＋2cosαcosβcosγ＝1．求α＋β＋γ的值．【解】由cos2α＋cos2β＋cos2γ＋2cosαcosβcosγ＝1可得cos2α＋(2cosβcosγ)cosα＋(cos2β＋cos2γ－1)＝0，看作关于cosα的一元二次方程，Δ＝4cos2βcos2γ－4(cos2β＋cos2γ－1)＝4sin2βsin2γ，所以，cosα＝－2cosβcosγ±4sin2βsin2γ2＝－cos(β±γ)．因为α，β，γ都是锐角，所以cosα＝－cos(β－γ)应舍去．因此，cosα＝－cos(β＋γ)，又因为0απ2，0β＋γπ，所以，α＝π－(β＋γ)，即α＋β＋γ＝π．[名师点评]本题难在不会用方程思想看待这个等式，导致胡乱化简，得不出结果．数学中的一些具体方法都是在数学思想的指导下产生的，我们在解题的时候，如果能够站在数学思想的高度，抓住数学中最本质的东西去思考，就会使解题更加科学与合理，就会使解题从被动变为主动，就会形成较为完善的解题系统．(2019·淮安质检)已知f(x)＝4x＋ax2－23x3(x∈R)在区间[－1，1]上是增函数．(1)求实数a的值组成的集合A；(2)设关于x的方程f(x)＝2x＋13x3的两个非零实数根为x1，x2．试问：是否存在实数m，使得不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．【解】(1)f′(x)＝4＋2ax－2x2，由已知，f(x)在区间[－1，1]上是增函数，等价于f′(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立．即x2－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立．记φ(x)＝x2－ax－2．法一：要使φ(x)≤0对x∈[－1，1]恒成立，只要φmax(x)≤0．由于x≤a2时，φ(x)为减函数，x≥a2时，φ(x)为增函数，因此，当x＝a2≤0时，由φ(x)的图象(图1)可以看出，φ(1)最大．解不等式组a2≤0，φ（1）＝1－a－2≤0，得－1≤a≤0，当x＝a20时，由φ(x)的图象(图2)可以看出，φ(－1)最大．解不等式组a20，φ（－1）＝1＋a－2≤0，得0a≤1．综合以上得－1≤a≤1．即A＝{a|－1≤a≤1}．法二：由φ（1）＝1－a－2≤0，φ（－1）＝1＋a－2≤0，可得A＝{a|－1≤a≤1}．(2)由f(x)＝2x＋13x3得，4x＋ax2－23x3＝2x＋13x3．解得x＝0和x2－ax－2＝0．由于Δ＝a2＋80，所以方程x2－ax－2＝0有两个非零实根x1、x2．由x1＋x2＝a，x1x2＝－2得|x1－x2|＝（x1＋x2）2－4x1x2＝a2＋8．本题等价于是否存在m，使不等式m2＋tm＋1≥a2＋8，①对a∈A，t∈[－1，1]恒成立．把a2＋8看作关于a的函数T(a)＝a2＋8，则①式等价于m2＋tm＋1≥T(a)max，②由于a∈A，则T(a)＝a2＋8≤1＋8＝3，从而②式转化为m2＋tm＋1≥3，即m2＋tm－2≥0，③对t∈[－1，1]恒成立．又可以把③式的左边看作t的函数．记g(t)＝m2＋tm－2＝mt＋m2－2．④对m＝0或m≠0分类研究．若m＝0，④式化为g(t)＝－2≥0，显然不成立；若m≠0，g(t)是关于t的一次函数，这样，要使g(t)≥0对t∈[－1，1]恒成立，只要g(－1)≥0及g(1)≥0同时成立即可(图3，4)．解不等式组g（1）＝m2＋m－2≥0，g（－1）＝m2－m－2≥0．得m≤－2或m≥2．所以存在实数m，使不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|对任意a∈A，t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≤－2或m≥2}．[名师点评]本题难点有三：①对题意理解不清；②对所求问题不会恰当转化为函数问题；③计算分类不准确．二分类讨论思想分类讨论的几种情况(1)由数学的概念、图形的位置等引发的分类讨论：数学中的概念有些就是分类的，如绝对值的概念．(2)由数学的定理、法则、公式等引发的分类讨论：一些数学定理和公式是分类的，如等比数列的求和公式等．(3)由参数变化引发的分类讨论：当要解决的问题中涉及参数时，由于参数在不同范围内取值时，问题的发展方向不同，这就要把参数划分几个部分分类解决．(4)问题的具体情况引发的分类讨论：有些数学问题本身就要分情况解决，如概率计算中要根据要求，分类求出基本事件的个数．(5)较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决．(2019·徐州模拟)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＝13(an－1＋2an－2)(n＝3，4，…)．数列{bn}满足b1＝1，bn(n＝2，3，…)是非零整数，且对任意的正整数m和自然数k，都有－1≤bm＋bm＋1＋…＋bm＋k≤1．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)记cn＝nanbn(n＝1，2，…)，求数列{cn}的前n项和Sn．【解】(1)由an＝13(an－1＋2an－2)得an－an－1＝－23(an－1－an－2)(n≥3)，又a2－a1＝1≠0，所以数列{an＋1－an}是首项为1，公比为－23的等比数列，an＋1－an＝－23n－1，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝1＋1＋－23＋－232＋…＋－23n－2＝1＋1－－23n－11＋23．[名师点评](1)在运用补集的思想解题时，一定要搞清结论的反面是什么，这里所有的弦都不能被直线y＝m(x－3)垂直平分的反面是“至少存在一条弦能被直线y＝m(x－3)垂直平分”，而不是“所有的弦都能被直线y＝m(x－3)垂直平分”．(2)在探讨某一问题的解决办法时，如果我们按照习惯的思维方式从正面思考遇到困难，则应从反面的方向去探求．