（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 2 第2讲 平面

第2讲平面向量基本定理及坐标表示1．若向量BA→＝(2，3)，CA→＝(4，7)，则BC→＝________．解析：由于BA→＝(2，3)，CA→＝(4，7)，那么BC→＝BA→＋AC→＝(2，3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．答案：(－2，－4)2．(2019·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(七))已知向量a＝(2，1)，b＝(3，－1)，若a＋2kb与3a－b平行，则k＝________.解析：因为a＝(2，1)，b＝(3，－1)，所以a＋2kb＝(2，1)＋2k(3，－1)＝(2＋6k，1－2k)，3a－b＝3(2，1)－(3，－1)＝(3，4)，又a＋2kb与3a－b平行，所以4(2＋6k)－3(1－2k)＝0，解得k＝－16.答案：－163．在▱ABCD中，AC为一条对角线，AB→＝(2，4)，AC→＝(1，3)，则向量BD→的坐标为________．解析：因为AB→＋BC→＝AC→，所以BC→＝AC→－AB→＝(－1，－1)，所以BD→＝AD→－AB→＝BC→－AB→＝(－3，－5)．答案：(－3，－5)4．在△ABC中，点P在BC上，且BP→＝2PC→，点Q是AC的中点，若PA→＝(4，3)，PQ→＝(1，5)，则BC→＝________．解析：AQ→＝PQ→－PA→＝(－3，2)，所以AC→＝2AQ→＝(－6，4)．PC→＝PA→＋AC→＝(－2，7)，所以BC→＝3PC→＝(－6，21)．答案：(－6，21)5．在△ABC中，AN→＝12AC→，P是BN上一点，若AP→＝mAB→＋38AC→，则实数m的值为________．解析：因为B，P，N三点共线，所以BP→∥PN→，设BP→＝λPN→，即AP→－AB→＝λ(AN→－AP→)，AP→＝11＋λAB→＋λ1＋λAN→，①又AN→＝12AC→，所以AC→＝2AN→，所以AP→＝mAB→＋38AC→＝mAB→＋34AN→，②结合①②，由平面向量的基本定理可得11＋λ＝m，λ1＋λ＝34，得m＝14.答案：146．已知非零向量e1，e2，a，b满足a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2.给出以下结论：①若e1与e2不共线，a与b共线，则k＝－2；②若e1与e2不共线，a与b共线，则k＝2；③存在实数k，使得a与b不共线，e1与e2共线；④不存在实数k，使得a与b不共线，e1与e2共线．其中正确结论的个数是________个．解析：若a与b共线，即a＝λb，即2e1－e2＝λke1＋λe2，而e1与e2不共线，所以λk＝2，λ＝－1，解得k＝－2.故①正确，②不正确．若a与b不共线，且e1与e2共线，则e2＝λe1，有a＝（2－λ）e1，b＝（k＋λ）e1，因为e1，e2，a，b为非零向量，所以λ≠2且λ≠－k，所以12－λa＝1k＋λb，即a＝2－λk＋λb，这时a与b共线，所以不存在实数k满足题意，故③不正确，④正确．综上，正确的结论为①④.答案：27．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c＝________.解析：设向量c＝(x，y)，因为向量4a，3b－2a，c首尾相接能构成三角形，所以4a＋3b－2a＋c＝0，且4a与c不共线．即4－6－2＋x＝0，－12＋12－（－6）＋y＝0，且4y≠－12x，解得x＝4，y＝－6，即c＝(4，－6)．答案：(4，－6)8．已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，|BC→|＝2|AC→|，则向量OB→的坐标是________．解析：由点C是线段AB上一点，|BC→|＝2|AC→|，得BC→＝－2AC→.设点B为(x，y)，则(2－x，3－y)＝－2(1，2)，即2－x＝－2，3－y＝－4，解得x＝4，y＝7.所以向量OB→的坐标是(4，7)．答案：(4，7)9．已知点A(2，3)、B(5，4)、C(7，10)，若AP→＝AB→＋λAC→(λ∈R)，则当λ的取值满足________时，点P在第三象限．解析：因为AB→＋λAC→＝(5，4)－(2，3)＋λ[(7，10)－(2，3)]＝(3＋5λ，1＋7λ)．所以AP→＝(3＋5λ，1＋7λ)．设P点的坐标为(x，y)，则AP→＝(x－2，y－3)，所以x－2＝3＋5λ，y－3＝1＋7λ，所以x＝5λ＋5，y＝7λ＋4.又因为点P在第三象限，所以x＜0，y＜0，即5λ＋5＜0，7λ＋4＜0，解得λ＜－1，即当λ＜－1时，点P在第三象限．答案：λ＜－110．给出以下四个命题：①四边形ABCD是菱形的充要条件是AB→＝DC→，且|AB→|＝|AD→|；②点G是△ABC的重心，则GA→＋GB→＋CG→＝0；③若AB→＝3e1，CD→＝－5e1，且|AD→|＝|BC→|，则四边形ABCD是等腰梯形；④若|AB→|＝8，|AC→|＝5，则3≤|BC→|≤13.其中所有正确命题的序号为________．解析：对于①，当AB→＝DC→时，则四边形ABCD为平行四边形，又|AB→|＝|AD→|，故该平行四边形为菱形，反之，当四边形ABCD为菱形时，则AB→＝DC→，且|AB→|＝|AD→|，故正确；对于②，若G为△ABC的重心，则GA→＋GB→＋GC→＝0，故不正确；对于③，由条件知CD→＝－53AB→，所以CD→∥AB→且|CD→||AB→|，又|AD→|＝|BC→|，故四边形ABCD为等腰梯形，正确；对于④，当AB→，AC→共线同向时，|BC→|＝3，当AB→，AC→共线反向时，|BC→|＝8＋5＝13，当AB→，AC→不共线时3|BC→|13，故正确．综上，正确命题为①③④.答案：①③④11．(2019·徐州调研)已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．求：(1)|a＋3b|；(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？解：(1)因为a＝(1，0)，b＝(2，1)，所以a＋3b＝(7，3)，故|a＋3b|＝72＋32＝58.(2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7，3)，因为ka－b与a＋3b平行，所以3(k－2)＋7＝0，即k＝－13.此时ka－b＝(k－2，－1)＝－73，－1，a＋3b＝(7，3)，则a＋3b＝－3(ka－b)，即此时向量a＋3b与ka－b方向相反．12．已知向量a＝(－3，2)，b＝(2，1)，c＝(3，－1)，t∈R，(1)求|a＋tb|的最小值及相应的t值；(2)若a－tb与c共线，求实数t.解：(1)由题知a＋tb＝(－3＋2t，2＋t)，所以|a＋tb|＝（－3＋2t）2＋（2＋t）2＝5t2－8t＋13＝5t－452＋495≥495＝755，当且仅当t＝45时取等号，即|a＋tb|的最小值为755，此时t＝45.(2)因为a－tb＝(－3，2)－t(2，1)＝(－3－2t，2－t)，且a－tb与c共线，c＝(3，－1),所以(－3－2t)×(－1)－(2－t)×3＝0，解得t＝35.1．在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M、N分别为CD、BC的中点．若AB→＝λAM→＋μAN→，则λ＋μ＝________．解析：由AB→＝λAM→＋μAN→，得AB→＝λ·12(AD→＋AC→)＋μ·12(AC→＋AB→)，则μ2－1AB→＋λ2AD→＋λ2＋μ2AC→＝0，得μ2－1AB→＋λ2AD→＋λ2＋μ2AD→＋12AB→＝0，得14λ＋34μ－1AB→＋λ＋μ2AD→＝0.又AB→与AD→不共线，所以14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得μ＝85λ＝－45，所以λ＋μ＝45.答案：452．已知向量a，b，满足|a|＝1，|b|＝3，a＋b＝(3，1)，则向量a与b的夹角是________．解析：由题知|a|＝1，|b|＝3，a＋b＝(3，1)，所以a·b＝0，所以a⊥b，所以向量a与b的夹角是π2.答案：π23.在△ABC中，过中线AD的中点E任作一条直线分别交边AB、AC于M、N两点，设AM→＝xAB→，AN→＝yAC→(xy≠0)，则4x＋y的最小值是________．解析：因为D是BC的中点，E是AD的中点，所以AE→＝12AD→＝14(AB→＋AC→)．又AB→＝1xAM→，AC→＝1yAN→，所以AE→＝14xAM→＋14yAN→.因为M、E、N三点共线，所以14x＋14y＝1，所以4x＋y＝(4x＋y)14x＋14y＝145＋4xy＋yx≥145＋24xy·yx＝94.答案：944．在平面直角坐标系中，点O(0，0)，P(6，8)，将向量OP→绕点O逆时针方向旋转3π4后得向量OQ→，则点Q的坐标是________．解析：因为点O(0，0)，P(6，8)，所以OP→＝(6，8)，设OP→＝(10cosθ，10sinθ)，则cosθ＝35，sinθ＝45，因为向量OP→绕点O逆时针方向旋转3π4后得向量OQ→，设Q(x，y)，则x＝10cosθ＋3π4＝10cosθcos3π4－sinθsin3π4＝－72，y＝10sinθ＋3π4＝10sinθcos3π4＋cosθsin3π4＝－2，所以Q点的坐标为(－72，－2)．答案：(－72，－2)5.(2019·无锡模拟)如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线．(1)设PG→＝λPQ→，将OG→用λ，OP→，OQ→表示；(2)设OP→＝xOA→，OQ→＝yOB→，证明：1x＋1y是定值．解：(1)OG→＝OP→＋PG→＝OP→＋λPQ→＝OP→＋λ(OQ→－OP→)＝(1－λ)OP→＋λOQ→.(2)证明：一方面，由(1)，得OG→＝(1－λ)OP→＋λOQ→＝(1－λ)xOA→＋λyOB→；①另一方面，因为G是△OAB的重心，所以OG→＝23OM→＝23×12(OA→＋OB→)＝13OA→＋13OB→.②而OA→，OB→不共线，所以由①②，得（1－λ）x＝13，λy＝13，解得1x＝3－3λ，1y＝3λ.所以1x＋1y＝3(定值)．6．设向量a＝(3sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈0，π2.(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．解：(1)由|a|2＝(3sinx)2＋sin2x＝4sin2x，|b|2＝cos2x＋sin2x＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈0，π2，从而sinx＝12，所以x＝π6.(2)f(x)＝a·b＝3sinxcosx＋sin2x＝32sin2x－12cos2x＋12＝sin2x－π6＋12，当x＝π3∈0，π2时，sin2x－π6取最大值1.所以f(x)的最大值为32.