（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第十章 附加考查部分 6 第6讲 矩阵与变换刷好题练能力

第6讲矩阵与变换1．(2019·扬州期中)已知矩阵A＝1ab2，属于特征值4的一个特征向量为23)，求A2.解：由条件，1ab223)＝423)，所以2＋3a＝8，2b＋6＝12，解得a＝2，b＝3，所以A＝1232，所以A2＝76910.2．(2019·江苏省四校联考)二阶矩阵A有特征值λ＝6，其对应的一个特征向量为e＝11，并且矩阵A对应的变换将点(1，2)变换成点(8，4)，求矩阵A.解：设所求二阶矩阵A＝abcd，则Ae＝6e，A12＝84，所以a＋bc＋d＝66，a＋2bc＋2d＝84，所以a＋b＝6，c＋d＝6，a＋2b＝8，c＋2d＝4，解方程组得A＝428－2.3．已知矩阵M＝a1b0，点A(1，0)在矩阵M对应变换作用下变为A′(1，2)，求矩阵M的逆矩阵M－1.解：因为a1b010＝12，所以a＝1，b＝2.所以M＝1120，所以M－1＝0121－12.4．(2019·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(九))在平面直角坐标系xOy中，设点P(x，5)在矩阵M＝1234对应的变换下得到点Q(y－2，y)，求M－1xy.解：依题意，1234x5＝y－2y，即x＋10＝y－2，3x＋20＝y，解得x＝－4，y＝8.由逆矩阵公式知，矩阵M＝1234的逆矩阵M－1＝－2132－12，所以M－1xy＝－2132－12－48＝16－10.5．(2019·镇江模拟)已知矩阵M＝1002，N＝12001，试求曲线y＝sinx在矩阵MN变换下的函数解析式．解：MN＝100212001＝12002，即在矩阵MN变换下xy→x′y′＝12002xy＝12x2y，x′＝12x，y′＝2y，代入得：12y′＝sin2x′，即曲线y＝sinx在矩阵MN变换下的函数解析式为y＝2sin2x.6．(2019·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(八))已知矩阵M的逆矩阵是M－1＝－143412－12，向量α＝x2，β＝5y，若Mα＝β，求x＋y的值．解：设矩阵M＝abcd，则由MM－1＝1001，可得－143412－12abcd＝1001，所以－14a＋34c＝1－14b＋34d＝012a－12c＝012b－12d＝1，解得a＝2b＝3c＝2d＝1，所以M＝2321.由Mα＝β，得2321x2＝5y，即2x＋6＝52x＋2＝y，解得x＝－12y＝1，则x＋y＝12.7．(2019·南京六校联考)已知矩阵A＝1002，B＝11201.若矩阵AB对应的变换把直线l：x＋y－2＝0变为直线l′，求直线l′的方程．解：因为A＝1002，B＝11201，所以AB＝100211201＝11202.在直线l′上任取一点P(x，y)，它是由l上的点P0(x0，y0)经矩阵AB所对应的变换所得，则一方面，因为点P0(x0，y0)在直线l：x＋y－2＝0上，所以x0＋y0－2＝0.①ABx0y0)＝xy)，即11202x0y0)＝xy)，所以x0＋12y0＝x，2y0＝y，所以x0＝x－14y，y0＝12y，②将②代入①得x－14y＋12y－2＝0，即4x＋y－8＝0，所以直线l′的方程为4x＋y－8＝0.8．(2019·南京、盐城模拟)已知矩阵A＝302a，A的逆矩阵A－1＝130b1.(1)求a，b的值；(2)求A的特征值．解：(1)因为AA－1＝302a130b1＝1023＋aba＝1001.所以a＝1，23＋ab＝0.解得a＝1，b＝－23.(2)由(1)得A＝3021，则A的特征多项式f(λ)＝λ－30－2λ－1＝(λ－3)(λ－1)．令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝1，λ2＝3.9．已知二阶矩阵M有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e1＝11，并且矩阵M对应的变换将点(－1，2)变换成(－2，4)．(1)求矩阵M；(2)求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系；(3)求直线l：x－y＋1＝0在矩阵M对应的变换作用下的直线l′的方程．解：(1)设M＝abcd，则abcd11＝811＝88，故a＋b＝8，c＋d＝8.abcd－12＝－24，故－a＋2b＝－2，－c＋2d＝4.联立以上两方程组解得a＝6，b＝2，c＝4，d＝4，故M＝6244.(2)由(1)知，矩阵M的特征多项式为f(λ)＝λ－6－2－4λ－4＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故其另一个特征值为λ＝2.设矩阵M的另一个特征向量是e2＝xy，则Me2＝6x＋2y4x＋4y＝2xy，解得2x＋y＝0.(3)设点(x，y)是直线l上的任一点，其在矩阵M对应的变换作用下得到的点的坐标为(x′，y′)，则6244xy＝x′y′，即x＝14x′－18y′，y＝－14x′＋38y′，代入直线l的方程后并化简得x′－y′＋2＝0，即x－y＋2＝0.