（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第十章 附加考查部分 5 第5讲 随机变量及其概率分布、均

第5讲随机变量及其概率分布、均值与方差1．从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．(1)求所选3人中恰有一名男生的概率；(2)求所选3人中男生人数ξ的概率分布．解：(1)所选3人中恰有一名男生的概率P＝C25C14C39＝1021.(2)ξ的可能取值为0，1，2，3.P(ξ＝0)＝C35C39＝542，P(ξ＝1)＝C25C14C39＝1021，P(ξ＝2)＝C15C24C39＝514，P(ξ＝3)＝C34C39＝121.故ξ的概率分布为ξ0123P54210215141212.(2019·宿迁模拟)某学校的三个学生社团的人数分布如下表(每名学生只能参加一个社团)：围棋社舞蹈社拳击社男生51028女生1530m学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取18人，结果拳击社被抽出了6人．(1)求拳击社团被抽出的6人中有5人是男生的概率；(2)设拳击社团有X名女生被抽出，求X的概率分布．解：(1)由于按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取18人，拳击社被抽出了6人，所以628＋m＝1820＋40＋28＋m，所以m＝2.设A为“拳击社团被抽出的6人中有5人是男生”，则P(A)＝C528C12C630＝48145.(2)由题意可知：X＝0，1，2，P(X＝0)＝C628C630＝92145，P(X＝1)＝C528C12C630＝48145，P(X＝2)＝C428C22C630＝129，X的概率分布为X012P92145481451293.(2019·南通三校联考)在一个盒子中有大小一样的7个球，球上分别标有数字1，1，2，2，2，3，3.现从盒子中同时摸出3个球，设随机变量X为摸出的3个球上的数字和．(1)求P(X≥7)；(2)求X的概率分布，并求其数学期望E(X)．解：(1)由题知P(X＝7)＝C23C12＋C22C12C37＝835，P(X＝8)＝C22C13C37＝335.所以P(X≥7)＝1135.(2)由题知P(X＝6)＝C12C13C12＋C33C37＝1335，P(X＝5)＝C22C12＋C23C12C37＝835，P(X＝4)＝C22C13C37＝335.所以随机变量X的概率分布为X45678P3358351335835335所以E(X)＝4×335＋5×835＋6×1335＋7×835＋8×335＝6.4．(2019·扬州期中)3个女生，4个男生排成一排，记X表示相邻女生的个数，求随机变量X的概率分布及数学期望．解：X的可能取值有0，2，3，P(X＝0)＝A44A35A77＝27；P(X＝2)＝A23A44A25A77＝47；P(X＝3)＝A33A55A77＝17，所以随机变量X的概率分布为X023P274717E(X)＝0×27＋2×47＋3×17＝117.5．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1)求概率P(ξ＝0)；(2)求ξ的概率分布，并求其数学期望E(ξ)．解：(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C23对相交棱，因此P(ξ＝0)＝8C23C212＝8×366＝411.(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对．故P(ξ＝2)＝6C212＝111，于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)＝1－411－111＝611.所以随机变量ξ的概率分布是ξ012P411611111因此E(ξ)＝1×611＋2×111＝6＋211.6．(2019·连云港模拟)某人向一目标射击4次，每次击中目标的概率为13.该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6，击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．(1)设X表示目标被击中的次数，求X的概率分布；(2)若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P(A)．解：(1)依题意知X～B4，13，P(X＝0)＝C041301－134＝1681，P(X＝1)＝C141311－133＝3281，P(X＝2)＝C241321－132＝827，P(X＝3)＝C341331－131＝881，P(X＝4)＝C441341－130＝181.所以X的概率分布为X01234P16813281827881181(2)设Ai表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i＝1，2.Bi表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i＝1，2.依题意知P(A1)＝P(B1)＝0.1，P(A2)＝P(B2)＝0.3，A＝A1B－1∪A－1B1∪A1B1∪A2B2，所求的概率为P(A)＝P(A1B－1)＋P(A－1B1)＋P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B－1)＋P(A－1)P(B1)＋P(A1)P(B1)＋P(A2)·P(B2)＝0.1×0.9＋0.9×0.1＋0.1×0.1＋0.3×0.3＝0.28.7．(2019·徐州、淮安、宿迁、连云港四市模拟)某校开设8门校本课程，其中4门课程为人文科学，4门为自然科学，学校要求学生在高中三年内从中选修3门课程，假设学生选修每门课程的机会均等．(1)求某同学至少选修1门自然科学课程的概率；(2)已知某同学所选修的3门课程中有1门人文科学，2门自然科学，若该同学通过人文科学课程的概率都是45，自然科学课程的概率都是34，且各门课程通过与否相互独立．用ξ表示该同学所选的3门课程通过的门数，求随机变量ξ的概率分布和数学期望．解：(1)记“某同学至少选修1门自然科学课程”为事件A，则P(A)＝1－C34C38＝1－114＝1314，所以该同学至少选修1门自然科学课程的概率为1314.(2)随机变量ξ的所有可能取值有0，1，2，3.因为P(ξ＝0)＝15×142＝180，P(ξ＝1)＝45×142＋15×C12×14×34＝18，P(ξ＝2)＝45×C12×14×34＋15×342＝3380，P(ξ＝3)＝45×342＝920，所以ξ的概率分布为ξ0123P180183380920所以E(ξ)＝0×180＋1×1080＋2×3380＋3×3680＝2.3.8．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：降水量XX＜300300≤X＜700700≤X＜900X≥900工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：(1)工期延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量X至少是300mm的条件下，工期延误不超过6天的概率．解：(1)由已知条件和概率的加法公式有：P(X300)＝0.3，P(300≤X700)＝P(X700)－P(X300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X900)＝P(X900)－P(X700)＝0.9－0.7＝0.2，P(X≥900)＝1－P(X900)＝1－0.9＝0.1.所以Y的概率分布为Y02610P0.30.40.20.1于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；V(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，得P(X≥300)＝1－P(X300)＝0.7，又P(300≤X900)＝P(X900)－P(X300)＝0.9－0.3＝0.6.由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X900|X≥300)＝P（300≤X900）P（X≥300）＝0.60.7＝67.故在降水量X至少是300mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.1．某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，他们获得冠军的概率分别为12，13，23.(1)求该高中获得冠军个数X的概率分布；(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分Y的概率分布．解：(1)由题意知X的可能取值为0，1，2，3，则P(X＝0)＝1－12×1－13×1－23＝19，P(X＝1)＝12×1－13×1－23＋1－12×13×1－23＋1－12×1－13×23＝718，P(X＝2)＝12×13×1－23＋1－12×13×23＋12×1－13×23＝718，P(X＝3)＝12×13×23＝19.所以X的概率分布为X0123P1971871819(2)因为得分Y＝5X＋2(3－X)＝6＋3X，因为X的可能取值为0，1，2，3.所以Y的可能取值为6，9，12，15则P(Y＝6)＝P(X＝0)＝19，P(Y＝9)＝P(X＝1)＝718，P(Y＝12)＝P(X＝2)＝718，P(Y＝15)＝P(X＝3)＝19.所以Y的概率分布为Y691215P19718718192.(2019·南京六校联考)袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为17.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子．甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止.每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的．用X表示取棋子终止时所需的取棋子的次数．(1)求随机变量X的概率分布和数学期望E(X)；(2)求甲取到白棋子的概率.解：设袋中白棋子共有x个，x∈N*，则依题意知：C2xC27＝17，所以x（x－1）2×17×62×1＝17，即x2－x－6＝0，解之得x＝3(x＝－2舍去)．(1)袋中的7枚棋子3白4黑，随机变量X的所有可能取值是1，2，3，4，5.P(X＝1)＝A13A17＝37，P(X＝2)＝A14A13A27＝27，P(X＝3)＝A24A13A37＝635，P(X＝4)＝A34A13A47＝335，P(X＝5)＝A44A13A57＝135.随机变量X的概率分布为X12345P3727635335135所以E(X)＝1×37＋2×27＋3×635＋4×335＋5×135＝2.(2)记事件A＝“甲取到白棋子”，则事件A包括以下三个互斥事件：A1＝“甲第1次取棋子时取出白棋子”；A2＝“甲第2次取棋子时取出白棋子”；A3＝“甲第3次取棋子时取出白棋子”．依题意知：P(A1)＝A13A17＝37，P(A2)＝A24A13A37＝635，P(A3)＝A44A13A57＝135，所以，甲取到白棋子的概率为P(A)＝P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝37＋635＋135＝2235.3．某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，规定参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区附近有A、B、C三家社区医院，并且他们的选择是等可能的、相互独立的．(1)求甲、乙两人都选择A社区医院的概率；(2)求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；(3)设在4名参加保险人员中选择A社区医院的人数为ξ，求ξ的概率分布．解：(1)设“甲、乙两人都选择A社区医院”为事件M，那么P(M)＝13×13＝19，所以甲、乙两人都选择A社区医院的概率为19.(2)设“甲、乙两人选择同一家社区医院”为事件N，那么P(N)＝C13×13×13＝13，所以甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率为P(N－)＝1－P(N)＝23.(3)依题意ξ～B4，13，所以P(ξ＝k)＝Ck4×13k×234－k＝Ck4×24－k81(k＝0，1，2，3，4)，故ξ的概