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第1讲曲线与方程1．如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且DM＝2DP.当点P在圆x2＋y2＝1上运动时．求点M的轨迹C的方程．解：设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x＝x0，y＝2y0，所以x0＝x，y0＝y2，①因为P(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，所以x20＋y20＝1.②将①代入②，得点M的轨迹C的方程为x2＋y24＝1.2．设F(1，0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且MN→＝2MP→，PM→⊥PF→，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程．解：设M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)，因为PM→⊥PF→，PM→＝(x0，－y0)，PF→＝(1，－y0)，所以(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，所以x0＋y20＝0.由MN→＝2MP→得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，所以x－x0＝－2x0，y＝2y0，即x0＝－x，y0＝12y.所以－x＋y24＝0，即y2＝4x.故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x.3．(2019·苏州模拟)在平面直角坐标系中，已知A1(－2，0)，A2(2，0)，P(x，y)，M(x，1)，N(x，－2)，若实数λ使得λ2OM→·ON→＝A1P→·A2P→(O为坐标原点)．求P点的轨迹方程，并讨论P点的轨迹类型．解：OM→＝(x，1)，ON→＝(x，－2)，A1P→＝(x＋2，y)，A2P→＝(x－2，y)．因为λ2OM→·ON→＝A1P→·A2P→，所以(x2－2)λ2＝x2－2＋y2，整理得(1－λ2)x2＋y2＝2(1－λ2)．①当λ＝±1时，方程为y＝0，轨迹为一条直线；②当λ＝0时，方程为x2＋y2＝2，轨迹为圆；③当λ∈(－1，0)∪(0，1)时，方程为x22＋y22（1－λ2）＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆；④当λ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，方程为x22－y22（λ2－1）＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线．4．已知点P是圆O：x2＋y2＝9上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D，动点Q满足DQ→＝23DP→.(1)求动点Q的轨迹方程；(2)已知点E(1，1)，在动点Q的轨迹上是否存在两个不重合的点M、N，使OE→＝12(OM→＋ON→)(O是坐标原点)．若存在，求出直线MN的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设P(x0，y0)，Q(x，y)，由题意得点D的坐标为D(x0，0)，所以DQ→＝(x－x0，y)，DP→＝(0，y0)，又DQ→＝23DP→，所以x－x0＝0，y＝23y0，即x0＝x，y0＝32y.因为P在圆O上，故x20＋y20＝9，所以x29＋y24＝1.所以点Q的轨迹方程为x29＋y24＝1.(2)存在．假设椭圆x29＋y24＝1上存在两个不重合的点M(x1，y1)，N(x2，y2)满足OE→＝12(OM→＋ON→)，则E(1，1)是线段MN的中点，且有x1＋x22＝1，y1＋y22＝1，即x1＋x2＝2，y1＋y2＝2.又M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆x29＋y24＝1上，所以x219＋y214＝1，x229＋y224＝1，两式相减，得（x1－x2）（x1＋x2）9＋（y1－y2）（y1＋y2）4＝0.所以kMN＝y1－y2x1－x2＝－49，所以直线MN的方程为4x＋9y－13＝0.所以椭圆上存在点M、N满足OE→＝12(OM→＋ON→)，此时直线MN的方程为4x＋9y－13＝0.