（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 7 第7讲 三角函数模型与解三

第7讲三角函数模型与解三角形的实际应用举例1．y＝2sin2x－π4的振幅、频率和初相分别为________．解析：由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin2x－π4的振幅为2，周期为π，频率为1π，初相为－π4.答案：2，1π，－π42．海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则B，C间的距离是________海里．解析：由正弦定理，知BCsin60°＝ABsin（180°－60°－75°），解得BC＝56海里．答案：563．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acosπ6（x－6）(x＝1，2，3，…，12，A0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的月平均气温为________℃.解析：由题意得a＋A＝28，a－A＝18，所以a＝23，A＝5，所以y＝23＋5cosπ6（x－6），当x＝10时，y＝23＋5×－12＝20.5.答案：20.54．一个大型喷水池的中央有一个强大的喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是________m.解析：设水柱高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝3h，根据余弦定理得，(3h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.答案：505．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)A0，ω0，0φπ2的图象如图所示，则当t＝1100秒时，电流强度是________安．解析：由题图知A＝10，T2＝4300－1300＝1100，所以ω＝2πT＝100π.所以I＝10sin(100πt＋φ)．因为1300，10为五点中的第二个点，所以100π×1300＋φ＝π2.所以φ＝π6.所以I＝10sin100πt＋π6，当t＝1100秒时，I＝－5安．答案：－56.如图所示，已知树顶A离地面212m，树上另一点B离地面112m，某人在离地面32m的C处看此树，则该人离此树________m时，看A，B的视角最大．解析：如图，过C作CF⊥AB于点F，设∠ACB＝α，∠BCF＝β，由已知AB＝212－112＝5(m)，BF＝112－32＝4(m)，AF＝212－32＝9(m)，则tan(α＋β)＝AFFC＝9FC，tanβ＝BFFC＝4FC，所以tanα＝tan[(α＋β)－β]＝tan（α＋β）－tanβ1＋tan（α＋β）tanβ＝5FC＋36FC≤52FC·36FC＝512，当且仅当FC＝36FC，即FC＝6时，tanα取得最大值，此时α取最大值．答案：67．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析：如图，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝33×30＝103(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)．答案：1038．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10000m，速度为50m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________m．(取2＝1.4，3＝1.7)解析：如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知∠A＝15°，∠DBC＝45°，所以∠ACB＝30°，AB＝50×420＝21000(m)．又在△ABC中，BCsinA＝ABsin∠ACB，所以BC＝2100012×sin15°＝10500(6－2)．因为CD⊥AD，所以CD＝BC·sin∠DBC＝10500(6－2)×22＝10500(3－1)＝7350.故山顶的海拔高度h＝10000－7350＝2650(m)．答案：26509.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．解析：连结OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos60°＝17500，解得OC＝507.答案：50710．以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m件，且当月售完，则估计________月份盈利最大．解析：由条件可得：出厂价格函数为y1＝2sinπ4x－π4＋6，销售价格函数为y2＝2sinπ4x－3π4＋8，则利润函数为：y＝m(y2－y1)＝m2sinπ4x－3π4＋8－2sinπ4x－π4－6＝m2－22sinπ4x，所以，当x＝6时，ymax＝(2＋22)m，即6月份盈利最大．答案：611.已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM＝100米和BN＝200米，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了1003米后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量tanθ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．解：在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，所以PM＝1003，连结QM，在△PQM中，∠QPM＝60°，又PQ＝1003，所以△PQM为等边三角形，所以QM＝1003.在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.在Rt△BNQ中，tanθ＝2，BN＝200，所以BQ＝1005，cosθ＝55.在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcosθ＝(1005)2，所以BA＝1005.即两发射塔顶A，B之间的距离是1005米．12．(2019·苏北四市高三年级第一次质量检测)某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形ABC绕底边BC上的高所在的直线AO旋转180°而成，如图2.已知圆O的半径为10cm，设∠BAO＝θ，0θπ2，圆锥的侧面积为Scm2.(1)求S关于θ的函数关系式；(2)为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S最大．求S取得最大值时，等腰三角形ABC的腰AB的长度．解：(1)如图，设AO交BC于点D，过O作OE⊥AB，垂足为E，在△AOE中，AE＝10cosθ，AB＝2AE＝20cosθ，在△ABD中，BD＝AB·sinθ＝20cosθsinθ.所以S＝π·20sinθcosθ·20cosθ＝400πsinθcos2θ0θπ2.(2)由(1)得，S＝400πsinθcos2θ＝400π·(sinθ－sin3θ)(0θπ2)．设f(x)＝x－x3(0x1)，则f′(x)＝1－3x2，当x∈0，33时，f′(x)0，当x∈33，1时，f′(x)0，所以f(x)在区间0，33上单调递增，在区间33，1上单调递减，所以f(x)在x＝33时取得极大值，也是最大值．所以当sinθ＝33时，侧面积S取得最大值，此时AB＝20cosθ＝201－sin2θ＝201－332＝2063(cm)．故S取得最大值时，等腰三角形ABC的腰AB的长度为2063cm.