（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 5 第5讲 三角函数的图象与性

第5讲三角函数的图象与性质1．函数y＝tanπ4－x的定义域是________．解析：y＝tanπ4－x＝－tanx－π4，由x－π4≠π2＋kπ，k∈Z得x≠kπ＋3π4，k∈Z.答案：x|x≠kπ＋3π4，k∈Z2．(2019·苏州联考)已知f(x)＝2sin2x＋π3，则函数f(x)的最小正周期为________，fπ6＝________．解析：T＝2π2＝π，fπ6＝2sin2π3＝3.答案：π33．已知ω0，函数f(x)＝sinωx＋π4在π2，π上是减函数，则ω的取值范围是________．解析：由π2xπ，得π2ω＋π4ωx＋π4πω＋π4，由题意知π2ω＋π4，πω＋π4⊆π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)且2πω≥2×π－π2，则π2ω＋π4≥π2＋2kπ，k∈Z，πω＋π4≤3π2＋2kπ，k∈Z，且0ω≤2，故12≤ω≤54.答案：12，544．(2019·常州市教育学会学业水平监测)如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝sin(ωx＋φ)(ω0，0φπ)的图象与x轴的交点A，B，C满足OA＋OC＝2OB，则φ＝________．解析：设B(xB，0)，A(xA，0)，C(xC，0)，由五点作图法可知，ωxB＋φ＝2kπ(k∈Z)，ωxA＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，ωxC＋φ＝2π＋2kπ(k∈Z)，则OB＝－xB＝φ－2kπω，OA＝xA＝π＋2kπ－φω，OC＝xC＝2π＋2kπ－φω，k∈Z，由OA＋OC＝2OB可得φ＝3π4＋2kπ，k∈Z，因为0φπ，所以φ＝3π4.答案：3π45．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的________条件．解析：φ＝π2⇒f(x)＝Acosωx＋π2＝－Asinωx为奇函数，所以“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的必要条件．又f(x)＝Acos(ωx＋φ)是奇函数⇒f(0)＝0⇒φ＝π2＋kπ(k∈Z)⇒/φ＝π2.所以“f(x)是奇函数”不是“φ＝π2”的充分条件．答案：必要不充分6．已知x∈(0，π]，关于x的方程2sinx＋π3＝a有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为________．解析：令y1＝2sinx＋π3，x∈(0，π]，y2＝a，作出y1的图象如图所示．若2sinx＋π3＝a在(0，π]上有两个不同的实数解，则y1与y2应有两个不同的交点，所以3a2.答案：(3，2)7．设函数f(x)＝3sinπ2x＋π4，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．解析：因为对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，所以f(x1)，f(x2)分别为函数f(x)的最小值和最大值，所以|x1－x2|的最小值为12T＝12×2ππ2＝2.答案：28．(2019·苏北四市高三年级第一次质量检测)若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象与直线y＝m的三个相邻交点的横坐标分别是π6，π3，2π3，则实数ω的值为________．解析：因为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象与直线y＝m的三个相邻交点的横坐标分别是π6，π3，2π3，所以该函数的最小正周期T＝2π3－π6＝π2，则ω＝2πT＝4.答案：49．函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx，x∈[0，π]的最大值与最小值之和为________．解析：令t＝sinx－cosx，又x∈[0，π]，所以t＝2sinx－π4，t∈[－1，2]．由t＝sinx－cosx，得t2＝1－2sinxcosx，即sinxcosx＝1－t22.所以原函数变为y＝t＋1－t22，t∈[－1，2]．即y＝－12t2＋t＋12.所以当t＝1时，ymax＝－12＋1＋12＝1；当t＝－1时，ymin＝－12－1＋12＝－1.故函数的最大值与最小值之和为0.答案：010．(2019·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(六))已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，0φπ)的部分图象如图所示，其中M，N是图象与x轴的交点，K是图象的最高点，若点M的坐标为(3，0)且△KMN是面积为3的正三角形，则f－13＝________.解析：由正三角形KMN的面积为3知，△KMN的边长为2，高为3，即A＝3，最小正周期T＝2×2＝4，ω＝2πT＝2π4＝π2，又M(3，0)，MN＝2，所以π2×4＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，φ＝2kπ－3π2，k∈Z，又0φπ，所以φ＝π2，即f(x)＝3sinπ2x＋π2＝3cosπ2x，f－13＝3cos－π6＝32.答案：3211．(2019·南通模拟)设x∈R，函数f(x)＝cos(ωx＋φ)ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且fπ4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象；(3)若f(x)＞22，求x的取值范围．解：(1)因为函数f(x)的最小正周期T＝2πω＝π，所以ω＝2，因为fπ4＝cos2×π4＋φ＝cosπ2＋φ＝－sinφ＝32，且－π2＜φ＜0，所以φ＝－π3.(2)由(1)知f(x)＝cos2x－π3，列表如下：2x－π3－π30π2π3π25π3x0π65π122π311π12πf(x)1210－1012图象如图：(3)因为f(x)＞22，即cos2x－π3＞22，所以2kπ－π4＜2x－π3＜2kπ＋π4，k∈Z，则2kπ＋π12＜2x＜2kπ＋7π12，k∈Z，即kπ＋π24＜x＜kπ＋7π24，k∈Z.所以x的取值范围是x|kπ＋π24＜x＜kπ＋7π24，k∈Z.12．已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)2＋2cos2x－2.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)当x∈π4，3π4时，求函数f(x)的最大值和最小值．解：(1)f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π4，令2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，则kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.故f(x)的单调增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.(2)因为x∈π4，3π4，所以3π4≤2x＋π4≤7π4，所以－1≤sin2x＋π4≤22，所以－2≤f(x)≤1，所以当x∈π4，3π4时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－2.1．函数y＝|sinx＋cosx|－1的定义域是________．解析：由|sinx＋cosx|－1≥0⇒(sinx＋cosx)2≥1⇒sin2x≥0，所以2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z，故原函数的定义域是kπ，kπ＋π2(k∈Z)．答案：kπ，kπ＋π2(k∈Z)2．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，－π＜φ＜0)的部分图象如图所示，则fφω＝________．解析：设函数f(x)的最小正周期为T，则34T＝3－1＝2，所以T＝83＝2πω，得ω＝3π4.因为f(1)＝1，所以ω×1＋φ＝3π4×1＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，又－π＜φ＜0，所以φ＝－π4，所以f(x)＝sin3π4x－π4，所以fφω＝f－13＝sin3π4×－13－π4＝－sinπ2＝－1.答案：－13．已知函数f(x)＝3sinωx－π6(ω0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈0，π2，则f(x)的取值范围是________．解析：由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f(x)＝3sin2x－π6，当x∈0，π2时，－π6≤2x－π6≤5π6，所以－12≤sin2x－π6≤1，故f(x)∈－32，3.答案：－32，34．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)x∈R，A0，ω0，|φ|π2的部分图象如图所示，如果x1、x2∈－π6，π3，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝________．解析：由题图可知A＝1，T2＝π3－－π6＝π2，所以T＝π，因为T＝2πω＝π，所以ω＝2，即f(x)＝sin()2x＋φ.因为－π6，0为五点作图的第一个点，所以2×－π6＋φ＝0，所以φ＝π3，所以f(x)＝sin2x＋π3.由正弦函数的对称性可知x1＋x22＝－π6＋π32，所以x1＋x2＝－π6＋π3＝π6，所以f(x1＋x2)＝fπ6＝sin2×π6＋π3＝sin2π3＝32.答案：325．(2019·南通市高三调研)已知函数f(x)＝Asinωx＋π3(A＞0，ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点π3，32.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若角α满足f(α)＋3fα－π2＝1，α∈(0，π)，求角α的值．解：(1)由条件得，最小正周期T＝2π，即2πω＝2π，所以ω＝1，即f(x)＝Asinx＋π3.因为f(x)的图象经过点π3，32，所以Asin2π3＝32，所以A＝1，所以f(x)＝sinx＋π3.(2)由f(α)＋3fα－π2＝1，得sinα＋π3＋3sinα＋π3－π2＝1，即sinα＋π3－3cosα＋π3＝1，所以2sinα＋π3－π3＝1，即sinα＝12.因为α∈(0，π)，所以α＝π6或5π6.6．已知向量a＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b＝(－cosωx－sinωx，23cosωx)，设函数f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈12，1.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y＝f(x)的图象经过点π4，0，求函数f(x)在区间0，3π5上的取值范围．解：(1)f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋23sinωx·cosωx＋λ＝－cos2ωx＋3sin2ωx＋λ＝2sin2ωx－π6＋λ.由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin2ωπ－π6＝±1，所以2ωπ－π6＝kπ＋π2(k∈Z)，即ω＝k2＋13(k∈Z)．又ω∈12，1，k∈Z，所以k＝1，故ω＝56.所以f(x)的最小正周期是6π5.(2)由y＝f(x)的图象过点π4，0，得fπ4＝0，即λ＝－2sin56×π2－π6＝－2sinπ4＝－2，即λ＝－2.故f(x)＝2sin53x－π6－2，由0≤x≤3π5，有－π6≤53x－π6≤5π6，所以－12≤sin53x－π6≤1，得－1－2≤2sin53x－π6－2≤2－2，故函数f(x)在0，3π5上的取值范围为[－1－2，2－2]．