（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 4 第4讲 简单的三角恒等变换

第4讲简单的三角恒等变换1．函数y＝sinxsinπ2＋x的最小正周期是________．解析：因为y＝sinxcosx＝12sin2x，所以T＝2π2＝π.答案：π2.若1＋cos2αsin2α＝12，则tan2α＝________．解析：因为1＋cos2αsin2α＝2cos2α2sinαcosα＝cosαsinα＝12，所以tanα＝2，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝41－4＝－43.答案：－433．化简2＋cos2－sin21的结果是________．解析：2＋cos2－sin21＝1＋cos2＋1－sin21＝2cos21＋cos21＝3cos1.答案：3cos14．已知△ABC中，AB＝2，C＝π3，则△ABC的周长为________．解析：设三边分别为a，b，c，则asinA＝2sinC，a＝433sinA，bsin2π3－A＝2sinC，b＝433sin2π3－A，△ABC的周长l＝433sinA＋433sin2π3－A＋2＝23sinA＋2cosA＋2＝4sinA＋π6＋2.答案：4sinA＋π6＋25．函数y＝3cos4x＋sin4x的最小正周期为________．解析：y＝3cos4x＋sin4x＝232cos4x＋12sin4x＝2cosπ6cos4x＋sinπ6sin4x＝2cos4x－π6，故T＝2π4＝π2.答案：π26.sin235°－12sin20°＝________．解析：sin235°－12sin20°＝2sin235°－12sin20°＝－cos70°2sin20°＝－sin20°2sin20°＝－12.答案：－127．函数f(x)＝sin2x＋3sinxcosx在区间π4，π2上的最大值是________．解析：f(x)＝sin2x＋3sinxcosx＝1－cos2x2＋3sin2x2＝32sin2x－12cos2x＋12＝sin2x－π6＋12，当x∈π4，π2时，2x－π6∈π3，5π6，所以当2x－π6＝π2时，f(x)max＝1＋12＝32.答案：328．若f(x)＝2tanx－2sin2x2－1sinx2cosx2，则fπ12的值为________．解析：因为f(x)＝2tanx＋1－2sin2x212sinx＝2tanx＋2cosxsinx＝2sinxcosx＝4sin2x，所以fπ12＝4sinπ6＝8.答案：89．设α∈0，π2，则sin3αcosα＋cos3αsinα的最小值为________．解析：sin3αcosα＋cos3αsinα＝sin4α＋cos4αsinαcosα＝（sin2α＋cos2α）2－2sin2αcos2αsinαcosα＝1sinαcosα－2sinαcosα.令sinαcosα＝t，则t＝12sin2α.因为α∈0，π2，所以t∈0，12.令g(t)＝1t－2t，则g(t)在0，12上是减函数，所以当t＝12时，g(t)min＝2－1＝1.答案：110．在锐角三角形ABC中，若sinA＝2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是________．解析：由sinA＝sin(B＋C)＝2sinBsinC得sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBsinC，两边同时除以cosBcosC得tanB＋tanC＝2tanBtanC，令tanB＋tanC＝2tanBtanC＝m，因为△ABC是锐角三角形，所以2tanBtanC2tanB·tanC，则tanBtanC1，m2.又在三角形中有tanAtanBtanC＝－tan(B＋C)tanBtanC＝－m1－12m·12m＝m2m－2＝m－2＋4m－2＋4≥2（m－2）·4m－2＋4＝8，当且仅当m－2＝4m－2，即m＝4时取得等号，故tanAtanBtanC的最小值为8.答案：811．(1)化简4cos4x－2cos2x－1tanπ4＋xsin2π4－x；(2)求值：4cos50°－tan40°.解：(1)原式＝（1＋cos2x）2－2cos2x－1tanπ4＋xcos2π4＋x＝cos22xsinπ4＋xcosπ4＋x＝2cos22xsinπ2＋2x＝2cos22xcos2x＝2cos2x.(2)原式＝4sin40°－sin40°cos40°＝4sin40°cos40°－sin40°cos40°＝2sin80°－sin40°cos40°＝2cos（40°－30°）－sin40°cos40°＝2（cos40°cos30°＋sin40°sin30°）－sin40°cos40°＝3cos40°cos40°＝3.12．(2019·泰州模拟)已知cosπ6＋α·cosπ3－α＝－14，α∈π3，π2.(1)求sin2α的值；(2)求tanα－1tanα的值．解：(1)因为cosπ6＋α·cosπ3－α＝cosπ6＋α·sinπ6＋α＝12sin2α＋π3＝－14，所以sin2α＋π3＝－12.因为α∈π3，π2，所以2α＋π3∈π，4π3，所以cos2α＋π3＝－32，所以sin2α＝sin2α＋π3－π3＝sin2α＋π3cosπ3－cos2α＋π3sinπ3＝12.(2)因为α∈π3，π2，所以2α∈2π3，π，又由(1)知sin2α＝12，所以cos2α＝－32.所以tanα－1tanα＝sinαcosα－cosαsinα＝sin2α－cos2αsinαcosα＝－2cos2αsin2α＝－2×－3212＝23.1．若tanθ＋1tanθ＝4，则sin2θ＝________.解析：法一：因为tanθ＋1tanθ＝1＋tan2θtanθ＝4，所以4tanθ＝1＋tan2θ，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝2sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝2tanθ1＋tan2θ＝2tanθ4tanθ＝12.法二：因为tanθ＋1tanθ＝sinθcosθ＋cosθsinθ＝1cosθsinθ＝2sin2θ，所以4＝2sin2θ，故sin2θ＝12.答案：122．设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin2α＋π12的值为________．解析：因为α为锐角，cosα＋π6＝45，所以sinα＋π6＝35，sin2α＋π6＝2425，cos2α＋π6＝725，所以sin2α＋π12＝sin2α＋π6－π4＝sin2α＋π6cosπ4－cos2α＋π6sinπ4＝17250.答案：172503.(2019·南通调研)如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，点D在边BC上，∠BAD＝45°，则tan∠CAD的值为________．解析：法一：在三角形ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，由余弦定理可得cos∠BAC＝－14，tan∠BAC＝－15，tan∠CAD＝tan(∠BAC－45°)＝tan∠BAC－tan45°1＋tan∠BACtan45°＝8＋157.法二：同上得tan∠BAC＝－15，再由tan(45°＋∠CAD)＝－15，解之得tan∠CAD＝8＋157.答案：8＋1574．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)的两根分别为tanα，tanβ，且α，β∈－π2，π2，则α＋β＝________．解析：由已知得tanα＋tanβ＝－3a，tanαtanβ＝3a＋1，所以tan(α＋β)＝1.又因为α，β∈－π2，π2，tanα＋tanβ＝－3a＜0，tanαtanβ＝3a＋1＞0，所以tanα＜0，tanβ＜0，所以α，β∈－π2，0，所以α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－3π4.答案：－3π45．已知sin(2α＋β)＝3sinβ，设tanα＝x，tanβ＝y，记y＝f(x)．(1)求f(x)的解析式；(2)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域．解：(1)因为由sin(2α＋β)＝3sinβ，得sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝3sin(α＋β)·cosα－3cos(α＋β)sinα，所以sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)·sinα，所以tan(α＋β)＝2tanα，于是tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝2tanα，即x＋y1－xy＝2x，所以y＝x1＋2x2，即f(x)＝x1＋2x2.(2)因为角α是一个三角形的最小内角，所以0＜α≤π3，则0＜x≤3，f(x)＝x1＋2x2＝11x＋2x≤121x·2x＝24当且仅当x＝22时取“＝”，故函数f(x)的值域为0，24.6．(2019·江苏省四星级学校联考)已知向量a＝(2，cos2x)，b＝cos2π4－x，－3，函数f(x)＝a·b.(1)若f(α)＝12，α∈0，π2，求fα＋π6的值；(2)若函数g(x)＝af(x)＋b的定义域为0，π2，值域为[1－3，3]，求实数a，b的值．解：由题意知f(x)＝2cos2π4－x－3cos2x＝cosπ2－2x＋1－3cos2x＝2sin2x－π3＋1.(1)因为f(α)＝2sin2α－π3＋1＝12，所以sin2α－π3＝－14.又α∈0，π2，所以2α－π3∈－π3，2π3，则cos2α－π3＝154.因为fα＋π6＝2sin2α＋π6－π3＋1＝2sin2α＋1，sin2α＝sin2α－π3＋π3＝－14×12＋154×32＝35－18，所以fα＋π6＝2×35－18＋1＝35－14＋1＝35＋34.(2)因为g(x)＝af(x)＋b＝2asin2x－π3＋a＋b，由x∈0，π2可得，2x－π3∈－π3，2π3，所以sin2x－π3∈－32，1.显然a≠0，①当a＞0时，由题意可得3a＋b＝3（1－3）a＋b＝1－3，解得a＝1b＝0；②当a＜0时，由题意可得3a＋b＝1－3（1－3）a＋b＝3，解得a＝－1b＝4－3.综上，a＝1b＝0或a＝－1b＝4－3.