（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 1 第1讲 平面的基本性质、空间两条直线

第1讲平面的基本性质、空间两条直线的位置关系1．平面α、β的公共点多于两个，则①α⊥β；②α、β至少有三个公共点；③α、β至少有一条公共直线；④α、β至多有一条公共直线．以上四个判断中不成立的个数是________．解析：由条件知，平面α与β重合或相交，重合时，公共直线多于一条，故④错误；相交时不一定垂直，故①错误．答案：22．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的________条件．解析：若两直线为异面直线，则两直线无公共点，反之不一定成立．答案：充分不必要3.如图，平行六面体ABCD­A1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱有________条．解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条．答案：54．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，点F、G分别是边BC、CD上的点，且CFCB＝CGCD＝23，则下列说法正确的是________．①EF与GH平行；②EF与GH异面；③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；④EF与GH的交点M一定在直线AC上．解析：连结EH，FG，依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，所以E、F、G、H共面．因为EH＝12BD，FG＝23BD，故EH≠FG，所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M.因为点M在EF上，故点M在平面ACB上．同理，点M在平面ACD上，所以点M是平面ACB与平面ACD的交点，又AC是这两个平面的交线，所以点M一定在直线AC上．答案：④5．设a，b，c是空间的三条直线，下面给出三个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交．其中真命题的个数是________．解析：因为a⊥b，b⊥c，所以a与c可以相交、平行、异面，故①错．因为a，b异面，b，c异面，则a，c可能异面、相交、平行，故②错．由a，b相交，b，c相交，则a，c可以异面、相交、平行，故③错．故真命题的个数为0.答案：06.如图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，则AO与A′C′所成角的度数为________．解析：连结AC.因为A′C′∥AC，所以AO与A′C′所成的角就是∠OAC(或其补角)．因为OC⊥OB，AB⊥平面BB′C′C，所以OC⊥AB.又AB∩BO＝B，所以OC⊥平面ABO.又OA⊂平面ABO，所以OC⊥OA.在Rt△AOC中，OC＝22，AC＝2，sin∠OAC＝OCAC＝12，所以∠OAC＝30°.即AO与A′C′所成角的度数为30°.答案：30°7．已知平面α∥β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________．解析：如图1，因为AC∩BD＝P，图1所以经过直线AC与BD可确定平面PCD.因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.所以PAAC＝PBBD，即69＝8－BDBD，所以BD＝245.如图2，同理可证AB∥CD.图2所以PAPC＝PBPD，即63＝BD－88，所以BD＝24.综上所述，BD＝245或24.答案：245或248．过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作________条．解析：如图，连结对角线AC1，显然AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等．联想正方体的其他对角线，如连结BD1，则BD1与棱BC，BA，BB1所成的角都相等，因为BB1∥AA1，BC∥AD，所以对角线BD1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，同理，对角线A1C，DB1也与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，故这样的直线l可以作4条．答案：49．对于四面体ABCD，下列命题中：①相对棱AB与CD所在直线异面；②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面．其中正确的是________(填序号)．解析：对于①，由四面体的概念可知，AB与CD所在的直线为异面直线，故①正确；对于②，由顶点A作四面体的高，当四面体ABCD的对棱互相垂直时，其垂足是△BCD的三条高线的交点，故②错误；对于③，当DA＝DB，CA＝CB时，这两条高线共面，故③错误．答案：①10.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：将展开图还原为正方体，如图所示，则AB⊥EF，故①正确；AB∥CM，故②错误；EF与MN显然异面，故③正确；MN与CD异面，故④错误．答案：①③11.如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．解：(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．(2)取CD的中点G，连结EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．又因为AC⊥BD，则FG⊥EG.在Rt△EGF中，由EG＝FG＝12AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.12．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝π2，AB＝2，AC＝23，PA＝2.求：(1)三棱锥P­ABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．解：(1)S△ABC＝12×2×23＝23，三棱锥P­ABC的体积为V＝13S△ABC·PA＝13×23×2＝433.(2)如图，取PB的中点E，连结DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角．在△ADE中，DE＝2，AE＝2，AD＝2，cos∠ADE＝22＋22－22×2×2＝34.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为34.1．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题序号是________．①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b；解析：当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，所以①错；a∩β＝P时，②错；如图，因为a∥b，P∈b，所以P∉a，所以由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，所以β与α重合，所以b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．答案：③④2．(2019·徐州模拟)在正四棱锥V­ABCD中，异面直线VA与BD所成角的大小为________．解析：如图，设AC∩BD＝O，连结VO，因为四棱锥V­ABCD是正四棱锥，所以VO⊥平面ABCD，故BD⊥VO.又四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC，所以BD⊥平面VAC，所以BD⊥VA，即异面直线VA与BD所成角的大小为π2.答案：π23．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是______．(写出所有正确命题的编号)①当0CQ12时，S为四边形；②当CQ＝12时，S为等腰梯形；③当CQ＝34时，S与C1D1的交点R满足C1R＝13；④当34CQ1时，S为六边形；⑤当CQ＝1时，S的面积为62.解析：过A作AM∥PQ交DD1或A1D1于M.当0CQ12时，M在DD1上，连结MQ，则截面为AMQP，故①正确．当CQ＝12时，M与D1重合，截面为AD1QP，显然为等腰梯形，②正确．当CQ＝34时，M在A1D1上，且D1M＝13.过M作MR∥AP交C1D1于R，则△MD1R∽△PBA，从而D1R＝23，即C1R＝13，故③正确．当34CQ1时，截面为AMRQP，为五边形，即④错误．当CQ＝1时，M为A1D1的中点，截面AMC1P为菱形，而AC1＝3，PM＝2，故面积为12×3×2＝62，⑤正确．答案：①②③⑤4．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是________．解析：如图所示，AB＝2，CD＝a，设点E为AB的中点，则ED⊥AB，EC⊥AB，则ED＝AD2－AE2＝22，同理EC＝22.由构成三角形的条件知0aED＋EC＝2，所以0a2.答案：(0，2)5.如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊12AD，BE綊12FA，G，H分别为FA，FD的中点．(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？解：(1)证明：由题设知，FG＝GA，FH＝HD，所以GH══∥12AD.又BC══∥12AD，故GH══∥BC.所以四边形BCHG是平行四边形．(2)C，D，F，E四点共面．理由如下：由BE══∥12FA，G是FA的中点知，BE══∥GF，所以EF══∥BG.由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面．又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面．6.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD＝22，PA＝2.求：(1)三角形PCD的面积；(2)异面直线BC与AE所成的角的大小．解：(1)因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，又因为PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD.因为PD＝22＋（22）2＝23，CD＝2，所以Rt△PCD的面积为12×2×23＝23.(2)取PB的中点F，连结EF、AF，则EF∥BC，从而∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角．易得AE＝2，在△AEF中，由EF＝2、AF＝2、AE＝2知△AEF是等腰直角三角形，所以∠AEF＝π4.因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是π4.