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第1讲不等关系与不等式1．“1≤x≤4”是“1≤x2≤16”的________条件．解析：由1≤x≤4可得1≤x2≤16，但由1≤x2≤16可得1≤x≤4或－4≤x≤－1，所以“1≤x≤4”是“1≤x2≤16”的充分不必要条件．答案：充分不必要2．设集合S＝{x|x－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁RS)∪T＝________．解析：T＝{x|－4≤x≤1}，根据补集定义，∁RS＝{x|x≤－2}，所以(∁RS)∪T＝{x|x≤1}．答案：(－∞，1]3．不等式x2＋ax＋40的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．解析：因为不等式x2＋ax＋40的解集不是空集，所以Δ＝a2－4×40，即a216.所以a4或a－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)4．(2019·扬州模拟)若a1a2，b1b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是________．解析：作差可得(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)·(b1－b2)，因为a1a2，b1b2，所以(a1－a2)(b1－b2)0，即a1b1＋a2b2a1b2＋a2b1.答案：a1b1＋a2b2a1b2＋a2b15．在R上定义运算：x*y＝x(1－y)．若不等式(x－y)*(x＋y)1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是________．解析：由题意，知(x－y)*(x＋y)＝(x－y)·[1－(x＋y)]1对一切实数x恒成立，所以－x2＋x＋y2－y－10对于x∈R恒成立．故Δ＝12－4×(－1)×(y2－y－1)0，所以4y2－4y－30，解得－12y32.答案：－12，326．(2019·淮安模拟)A杯中有浓度为a的盐水x克，B杯中有浓度为b的盐水y克，其中A杯中的盐水更咸一些．若将A，B两杯盐水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为________．解析：依题意，知ab，将A，B两杯盐水混合后，盐水的浓度变为ax＋byx＋y，则有ax＋byx＋ybx＋byx＋y＝b，ax＋byx＋yax＋ayx＋y＝a，故有bax＋byx＋ya.答案：bax＋byx＋ya7．如果关于x的不等式5x2－a≤0的正整数解是1，2，3，4，那么实数a的取值范围是________．解析：由5x2－a≤0，得－a5≤x≤a5，而正整数解是1，2，3，4，则4≤a5＜5，所以80≤a＜125.答案：[80，125)8．(2019·苏北三市高三模拟)已知对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x2－2(a－2)x＋a＞0，则实数a的取值范围是________．解析：记f(x)＝x2－2(a－2)x＋a，令f(x)＝0，由题意得，Δ＝4(a－2)2－4a＜0或f（1）≥0，f（5）≥0，Δ≥0，1≤a－2≤5，所以1＜a＜4或4≤a≤5，即实数a的取值范围是(1，5]．答案：(1，5]9．(2019·盐城模拟)若－1a＋b3，2a－b4，则2a＋3b的取值范围为________．解析：设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，则x＋y＝2，x－y＝3，解得x＝52，y＝－12.又因为－5252(a＋b)152，－2－12(a－b)－1，所以－9252(a＋b)－12(a－b)132.即－922a＋3b132.答案：－92，13210．当且仅当a∈(m，n)时，2－ax＋x21－x＋x23对x∈R恒成立，则m＋n＝________．解析：因为1－x＋x20恒成立，所以原不等式等价于2－ax＋x23(1－x＋x2)，即2x2＋(a－3)x＋10恒成立．所以Δ＝(a－3)2－80，3－22a3＋22.依题意有m＝3－22，n＝3＋22，所以m＋n＝6.答案：611．若k∈R，求解关于x的不等式x22－x（k＋1）x－k2－x.解：不等式x22－x＜（k＋1）x－k2－x可化为x2－（k＋1）x＋k2－x＜0，即(x－2)(x－1)(x－k)＞0.当k＜1时，x∈(k，1)∪(2，＋∞)；当k＝1时，x∈(2，＋∞)；当1＜k＜2时，x∈(1，k)∪(2，＋∞)；当k≥2时，x∈(1，2)∪(k，＋∞)．12．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n(n∈N*)人，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，则y1＝x＋34x·(n－1)＝14x＋34xn，y2＝45nx.所以y1－y2＝14x＋34xn－45nx＝14x－120nx＝14x1－n5.当n＝5时，y1＝y2；当n＞5时，y1＜y2；当n＜5时，y1＞y2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．