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第2讲随机事件的概率、古典概型与几何概型1．先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是________．解析：至少一次正面朝上的对立事件的概率为18，故P＝1－18＝78.答案：782.如图，在一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375颗，以此实验数据为依据，可以估计出该不规则图形的面积为________平方米．解析：设该不规则图形的面积为x平方米，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375，所以根据几何概型的概率计算公式可知3751000＝1x，解得x＝83.答案：833．已知函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5，5]，若从区间[－5，5]内随机抽取一个实数x0，则所取的x0满足f(x0)≤0的概率为________．解析：令x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2，由几何概型的概率计算公式得P＝2－（－1）5－（－5）＝310＝0.3.答案：0.34．(2019·南通市、泰州市高三第一次调研测试)某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个，则数学建模社团被选中的概率为________．解析：记数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团分别为A，B，C，D，从中随机选择2个，有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种选法，其中数学建模社团被选中(即A被选中)的选法有3种，所以概率为36＝12.答案：125．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．解析：设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A＋B，且事件A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝17＋1235＝1735.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.答案：17356．(2019·常州市教育学会学业水平监测)函数f(x)＝1lnx的定义域记作集合D.随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子(骰子的每个面上分别标有点数1，2，…，6)，记骰子向上的点数为t，则事件“t∈D”的概率为________．解析：法一：易知D＝{x|x0且x≠1}，所以在1，2，3，4，5，6中2，3，4，5，6∈D，所以事件“t∈D”的概率为56.法二：易知D＝{x|x0且x≠1}，所以在1，2，3，4，5，6中只有1∉D，所以事件“t∈D”的概率为1－16＝56.答案：567．连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)，记“两次向上的数字之和等于m”为事件A，则P(A)最大时，m＝________．解析：m可能取到的值有2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，对应的基本事件个数依次为1，2，3，4，5，6，5，4，3，2，1，所以两次向上的数字之和等于7对应的事件发生的概率最大．答案：78．(2019·徐州模拟)若不等式x2＋y2≤2所表示的平面区域为M，不等式组x－y≥0，x＋y≥0，y≥2x－6表示的平面区域为N，现随机向区域N内抛一粒豆子，则豆子落在区域M内的概率为________．解析：作出不等式组与不等式表示的可行域如图所示，平面区域N的面积为12×3×(6＋2)＝12，区域M在区域N内的面积为14π(2)2＝π2，故所求概率P＝π212＝π24.答案：π249．(2019·江苏省高考名校联考(九))2017年1月18日支付宝集福活动“又”来了，假定每次扫福都能得到一张福卡(福卡一共有五种：爱国福、富强福、和谐福、友善福、敬业福)，且得到每一种类型福卡的概率相同，若小张已经得到了富强福、和谐福、友善福，则小张再扫两次可以集齐五福的概率为________．解析：再扫两次得到福卡的所有情况有(爱国福，爱国福)、(爱国福，富强福)、(爱国福，和谐福)、(爱国福，友善福)、(爱国福，敬业福)、(富强福，爱国福)、(富强福，富强福)、(富强福，和谐福)、(富强福，友善福)、(富强福，敬业福)、(和谐福，爱国福)、(和谐福，富强福)、(和谐福，和谐福)、(和谐福，友善福)、(和谐福，敬业福)、(友善福，爱国福)、(友善福，富强福)、(友善福，和谐福)、(友善福，友善福)、(友善福，敬业福)、(敬业福，爱国福)、(敬业福，富强福)、(敬业福，和谐福)、(敬业福，友善福)、(敬业福，敬业福)，共25种，记“小张再扫两次可以集齐五福”为事件M，则事件M包含的情况有(爱国福，敬业福)、(敬业福，爱国福)，共2种，根据古典概型的概率计算公式可得所求概率为P(M)＝225.答案：22510．(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(七))若一次函数f(x)＝2ax－5满足a∈[－3，2]且a≠0，则f(x)≤0在x∈[0，2]上恒成立的概率为________．解析：由题意可得函数f(x)＝2ax－5≤0在x∈[0，2]上恒成立，当x＝0时，－5≤0，显然恒成立；当x∈(0，2]时，可化为a≤52x，而y＝52x在x∈(0，2]上的最小值为54，所以a≤54，结合a∈[－3，2]且a≠0，得a∈[－3，0)∪(0，54]，由几何概型的概率计算公式可得f(x)≤0在x∈[0，2]上恒成立的概率P＝（54－0）＋[0－（－3）]（2－0）＋[0－（－3）]＝1720.答案：172011．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．解：(1)由题意知，(a，b，c)所有的可能为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种．所以P(A)＝327＝19.因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为19.(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．所以P(B)＝1－P(B)＝1－327＝89.因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为89.12．(2019·南通模拟)体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格．某班50名学生参加测试的结果如下：等级优良中不及格人数519233(1)从该班任意抽取1名学生，求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率；(2)若测试成绩为“优”的3名男生记为a1，a2，a3，2名女生记为b1，b2.现从这5人中任选2人参加学校的某项体育比赛．①写出所有等可能的基本事件；②求参赛学生中恰有1名女生的概率．解：(1)记“测试成绩为良或中”为事件A，“测试成绩为良”为事件A1，“测试成绩为中”为事件A2，事件A1，A2是互斥的．由已知，有P(A1)＝1950，P(A2)＝2350.因为当事件A1，A2之一发生时，事件A发生，所以由互斥事件的概率公式，得P(A)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝1950＋2350＝2125.故这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率为2125.(2)①有10个基本事件：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)．②记“参赛学生中恰好有1名女生”为事件B.在上述等可能的10个基本事件中，事件B包含了(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)．故所求的概率为P(B)＝610＝35.即参赛学生中恰有1名女生的概率为35.1．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．解析：由题意得an＝(－3)n－1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以P＝610＝35.答案：352．(2019·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(四))若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的坐标，则点P落在直线x＋3y＝15两侧的概率为________．解析：由题意可知m∈{1，2，3，4，5，6}，n∈{1，2，3，4，5，6}，点P(m，n)共有36种可能，其中只有当m＝3n＝4和m＝6n＝3时，点P落在直线x＋3y＝15上，故点P落在直线x＋3y＝15两侧的概率为P＝1－236＝1718.答案：17183．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当ab，bc时称为“凹数”(如213，312等)，若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是________．解析：由1，2，3组成的三位数有123，132，213，231，312，321，共6个；由1，2，4组成的三位数有124，142，214，241，412，421，共6个；由1，3，4组成的三位数有134，143，314，341，413，431，共6个；由2，3，4组成的三位数有234，243，324，342，432，423，共6个．所以共有6＋6＋6＋6＝24个三位数．当b＝1时，有214，213，314，412，312，413，共6个“凹数”；当b＝2时，有324，423，共2个“凹数”．所以这个三位数为“凹数”的概率是6＋224＝13.答案：134．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是________．解析：设第一串彩灯亮的时刻为x，第二串彩灯亮的时刻为y，则0≤x≤4，0≤y≤4，要使两串彩灯亮的时刻相差不超过2秒，则0≤x≤4，0≤y≤4，－2≤x－y≤2.如图，不等式组0≤x≤4，0≤y≤4所表示的图形面积为16，不等式组0≤x≤4，0≤y≤4，－2≤x－y≤2所表示的六边形OABCDE的面积为16－4＝12，由几何概型的公式可得P＝1216＝34.答案：345．将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字0，1，2，3，4，5)和一个正四面体(四个面分别标有数字1，2，3，4)同时抛掷1次，规定“正方体向上的面上的数字为a，正四面体的三个侧面上的数字之和为b”．设复数为z＝a＋bi.(1)若集合A＝{z|z为纯虚数}，用列举法表示集合A；(2)求事件“复数在复平面内对应的点(a，b)满足a2＋(b－6)2≤9”的概率．解：(1)A＝{6i，7i，8i，9i}．(2)满足条件的基本事件的个数为24.设满足“复数在复平面内对应的点(a，b)满足a2＋(b－6)2≤9”的事件为B.当a＝0时，b＝6，7，8，9满足a2＋(b－6)2≤9；当a＝1时，b＝6，7，8满足a2＋(b－6)2≤9；当a＝2时，b＝6，7，8满足a2＋(b－6)2≤9；当a＝3时，b＝6满足a2＋(b－6)2≤9.即B为(0，6)，(0，7)，(0，8)，(0，9)，(1，6)，(1，7)，(1，8)，(2，6)，(2，7)，(2