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第1讲抽样方法、总体分布的估计1．(2019·南通调研测试)某中学共有学生2800人，其中高一年级970人，高二年级930人，高三年级900人，现采用分层抽样的方法，抽取280人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为________．解析：设高二年级抽取n人，则n930＝2802800，故n＝93人．答案：932．某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为13，则n＝________．解析：由已知条件，抽样比为13780＝160，从而35600＋780＋n＝160，解得n＝720.答案：7203．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是________．解析：由题意知各数为12，15，20，22，23，23，31，32，34，34，38，39，45，45，45，47，47，48，48，49，50，50，51，51，54，57，59，61，67，68，中位数是46，众数是45，最大数为68，最小数为12，极差为68－12＝56.答案：46，45，564．(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(一))某电商联盟在“双11”狂欢节促销活动中，对11月11日9时到14时的销售额进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知13时到14时的销售额为4.5万元，则10时到13时的销售额为________万元．解析：设10时到13时的销售额为x万元，由题图可知13时到14时的销售额与10时到13时的销售额的比值为0.100.15＋0.40＋0.25＝18，又13时到14时的销售额为4.5万元，所以4.5x＝18，解得x＝36，所以10时到13时的销售额为36万元．答案：365．(2019·无锡模拟)若一组样本数据8，x，10，11，9的平均数为10，则该组样本数据的方差为________．解析：因为平均数＝8＋x＋10＋11＋95＝10，所以x＝12，从而方差为s2＝15(4＋4＋0＋1＋1)＝2.答案：26．(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(八))某科技公司受过高等教育的人数与没有受过高等教育的人数之比为7∶3，现用分层抽样的方法从该公司的所有员工中抽取一个容量为20的样本，若受过高等教育的甲员工被抽到的概率为120，则该科技公司受过高等教育的员工人数为________．解析：由题意可知，抽取的样本中有20×77＋3＝14人受过高等教育．故该科技公司受过高等教育的员工人数为14÷120＝280.答案：2807．(2019·镇江模拟改编)某市共有400所学校，现要用系统抽样的方法抽取20所学校作为样本，调查学生课外阅读的情况．把这400所学校编上1～400的号码，再从1～20中随机抽取一个号码，如果此时抽得的号码是6，则在编号为21到40的学校中，应抽取的学校的编号为________．解析：根据系统抽样的条件，可知抽取的号码为第一组的号码加上组距的整数倍，所以为号20＋6＝26号．答案：268．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)已知一组数据1，2，3，4，5m的方差为2，那么相对应的另一组数据2，4，6，8，10m的方差为________．解析：1，2，3，4，5m的平均数x—＝2＋m，方差s2＝（－m－1）2＋m2＋（1－m）2＋（－m＋2）2＋（4m－2）25＝2，而2，4，6，8，10m的平均数x—1＝4＋2m，方差s21＝4×（－m－1）2＋m2＋（1－m）2＋（－m＋2）2＋（4m－2）25＝4×2＝8.答案：89．(2019·宿迁调研)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则7个剩余分数的方差为________．解析：由题图可知去掉的两个数是87，99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7，解得x＝4.所以s2＝17×[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝367.答案：36710．在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大构成等比数列{an}，已知a2＝2a1，且样本容量为300，则小长方形面积最大的一组的频数为________．解析：因为小长方形的面积由小到大构成等比数列{an}，且a2＝2a1，所以样本的频率构成一个等比数列，且公比为2，所以a1＋2a1＋4a1＋8a1＝15a1＝1，所以a1＝115，所以小长方形面积最大的一组的频数为300×8a1＝160.答案：16011．一次数学模拟考试，共12道选择题，每题5分，共计60分，每道题有四个可供选择的答案，仅有一个是正确的．学生小张只能确定其中10道题的正确答案，其余2道题完全靠猜测回答．小张所在班级共有40人，此次考试选择题得分情况统计表如下：得分(分)4045505560百分率15%10%25%40%10%现采用分层抽样的方法从此班抽取20人的试卷进行选择题质量分析．(1)应抽取多少张选择题得60分的试卷？(2)若小张选择题得60分，求他的试卷被抽到的概率．解：(1)得60分的人数为40×10%＝4.设抽取x张选择题得60分的试卷，则4020＝4x，则x＝2，故应抽取2张选择题得60分的试卷．(2)设小张的试卷为a1，另三名得60分的同学的试卷为a2，a3，a4，所有抽取60分试卷的方法为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a3，a4)共6种，其中小张的试卷被抽到的抽法共有3种，故小张的试卷被抽到的概率为P＝36＝12.12．甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是：甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5.(1)分别计算两组数据的平均数；(2)分别计算两组数据的方差；(3)根据计算结果，估计一下两名战士的射击水平谁更好一些．解：(1)x—甲＝110(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7，x—乙＝110(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7.(2)由方差公式s2＝1n[(x1－x—)2＋(x2－x—)2＋…＋(xn－x—)2]可求得s2甲＝3.0，s2乙＝1.2.(3)由x甲＝x乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当；又因为s2甲s2乙，说明甲战士射击情况波动大，因此乙战士比甲战士射击情况稳定．1．(2019·徐州模拟)某工厂在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为________．解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占总数的三分之一，即为1200双皮靴．答案：12002．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1020小时、980小时、1030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．解析：第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1020×0.5＋980×0.2＋1030×0.3＝1015.答案：5010153．某公司300名员工2016年年薪情况的频率分布直方图如图所示，由图可知，员工中年薪在1.4～1.6万元的共有________人．解析：由频率分布直方图知年薪低于1.4万元或者高于1.6万元的频率为(0.2＋0.8＋0.8＋1.0＋1.0)×0.2＝0.76，因此，年薪在1.4到1.6万元间的频率为1－0.76＝0.24，所以300名员工中年薪在1.4到1.6万元间的员工人数为300×0.24＝72(人)．答案：724．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登记错了，甲实得80分，却记了50分，乙实得70分，却记了100分，更正后平均分和方差分别是________．解析：因为甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变，设更正后的方差为s2，则由题意可得：s2＝148[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(80－70)2＋(70－70)2＋…＋(x48－70)2]，而更正前有75＝148[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(50－70)2＋(100－70)2＋…＋(x48－70)2]，化简整理得s2＝50.答案：70，505．某学校为准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并采用茎叶图表示本次测试30人的跳高成绩(单位：cm)，跳高成绩在175cm以上(包括175cm)定义为“合格”，跳高成绩在175cm以下(不包括175cm)定义为“不合格”．(1)如果用分层抽样的方法从甲、乙两队所有的运动员中共抽取5人，则5人中“合格”与“不合格”的人数各为多少？(2)若从甲队178cm(包括178cm)以上的6人中抽取2人，则至少有一人在186cm以上(包括186cm)的概率为多少？解：(1)根据茎叶图可知，30人中有12人“合格”，有18人“不合格”．用分层抽样的方法，则5人中“合格”与“不合格”的人数分别为2人、3人．(2)甲队178cm(包括178cm)以上的6人中抽取2人的基本事件为(178，181)，(178，182)，(178，184)，(178，186)，(178，191)，(181，182)，(181，184)，(181，186)，(181，191)，(182，184)，(182，186)，(182，191)，(184，186)，(184，191)，(186，191)，共15个．其中都不在186cm以上的基本事件为(178，181)，(178，182)，(178，184)，(181，182)，(181，184)，(182，184)，共6个．所以都不在186cm以上的概率P＝615＝25，由对立事件的概率公式得，至少有一人在186cm以上(包括186cm)的概率为1－P＝1－25＝35.6．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数．解：(1)由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0，0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5]组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，解得a＝0.30.(2)由(1)，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0．06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12＝36000.(3)设中位数为x吨．因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.730.5，而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.480.5，所以2≤x2.5.由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.故可估计居