（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第二章 基本初等函数、导数的应用 11 第11讲 导数与函

第11讲导数与函数的单调性1．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．解析：由f(x)＝x3－15x2－33x＋6得f′(x)＝3x2－30x－33，令f′(x)0，即3(x－11)(x＋1)0，解得－1x11，所以函数f(x)的单调减区间为(－1，11)．答案：(－1，11)2．(2019·苏中八校学情调查)函数f(x)＝x－lnx的单调递减区间为________．解析：函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－1x＝x－1x，令f′(x)＜0，解得0＜x＜1，所以单调递减区间是(0，1)．答案：(0，1)3．已知函数f(x)＝12x3＋ax＋4，则“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的________条件．解析：f′(x)＝32x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．答案：充分不必要4．(2019·宿迁第一次质量预测)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－3)＝f(5)＝1，f′(x)为f(x)的导函数，且导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜1的解集是________．解析：依题意得，当x0时，f′(x)0，f(x)是增函数；当x0时，f′(x)0，f(x)是减函数．又f(－3)＝f(5)＝1，因此不等式f(x)1的解集是(－3，5)．答案：(－3，5)5．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝________．解析：设f(x)＝x3－3x＋c，对f(x)求导可得，f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，可得x＝±1，易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减．若f(1)＝1－3＋c＝0，可得c＝2；若f(－1)＝－1＋3＋c＝0，可得c＝－2.答案：－2或26．若函数f(x)＝13x3－32x2＋ax＋4恰在[－1，4]上单调递减，则实数a的值为________．解析：因为f(x)＝13x3－32x2＋ax＋4，所以f′(x)＝x2－3x＋a，又函数f(x)恰在[－1，4]上单调递减，所以－1，4是f′(x)＝0的两根，所以a＝(－1)×4＝－4.答案：－47．已知函数f(x)＝－12x2＋4x－3lnx在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．解析：由题意知f′(x)＝－x＋4－3x＝－x2＋4x－3x＝－（x－1）（x－3）x，由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1，3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，由t1t＋1或t3t＋1，得0t1或2t3.答案：(0，1)∪(2，3)8．(2019·江苏省高考名校联考信息卷(十))设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则f(x)在(－4，2)上的所有极值点之和为________．解析：根据函数y＝(1－x)f′(x)的图象知，当x－1时，y＝(1－x)f′(x)0，1－x0，f′(x)0，函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减，当－1x1时，y＝(1－x)·f′(x)0，1－x0，f′(x)0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增，当x1时，y＝(1－x)f′(x)0，1－x0，f′(x)0，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以x＝－1是f(x)的极小值点，且f(x)在(－4，2)上无极大值点，所以f(x)在(－4，2)上所有极值点之和为－1.答案：－19．设函数f(x)＝12x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是________．解析：因为f(x)＝12x2－9lnx，所以f′(x)＝x－9x(x0)，当x－9x≤0时，有0x≤3，即在(0，3]上f(x)是减函数，所以a－10且a＋1≤3，解得1a≤2.答案：1a≤210．已知函数f(x)＝x4＋ax－lnx－32，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝14－ax2－1x(x0)，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x，知f′(1)＝－34－a＝－2，解得a＝54.(2)由(1)知f(x)＝x4＋54x－lnx－32，则f′(x)＝x2－4x－54x2(x0)．令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x∈(0，5)时，f′(x)0，故f(x)在(0，5)内为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．综上，f(x)的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0，5)．11．(2019·无锡质检)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝12ax＋b.(1)若f(x)与g(x)在x＝1处相切，求g(x)的表达式；(2)若φ(x)＝m（x－1）x＋1－f(x)在[1，＋∞)上是减函数，求实数m的取值范围．解：(1)由已知得f′(x)＝1x，所以f′(1)＝1＝12a，a＝2.又因为g(1)＝0＝12a＋b，所以b＝－1，所以g(x)＝x－1.(2)因为φ(x)＝m（x－1）x＋1－f(x)＝m（x－1）x＋1－lnx在[1，＋∞)上是减函数．所以φ′(x)＝－x2＋（2m－2）x－1x（x＋1）2≤0在[1，＋∞)上恒成立，即x2－(2m－2)x＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，则2m－2≤x＋1x，x∈[1，＋∞)，因为x＋1x∈[2，＋∞)，所以2m－2≤2，m≤2.故实数m的取值范围是(－∞，2]．1．已知函数f(x)＝loga(x3－ax)(a0且a≠1)，如果函数f(x)在区间－12，0内单调递增，那么a的取值范围是________．解析：由题意可知x3－ax0，x∈－12，0恒成立，所以a(x2)max，即a≥14.当14≤a1时，函数y＝x3－ax，x∈－12，0递减，y′＝3x2－a≤0，x∈－12，0恒成立，所以a≥(3x2)max，故34≤a1；当a1时，函数y＝x3－ax，x∈－12，0递增，y′＝3x2－a≥0，x∈－12，0恒成立，所以a≤(3x2)min，a≤0，舍去，综上a的取值范围是34，1.答案：34，12．已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)＜12，则f(x)＜x2＋12的解集为________．解析：设F(x)＝f(x)－x2＋12，则F(1)＝f(1)－12＋12＝1－1＝0，F′(x)＝f′(x)－12，对任意x∈R，有F′(x)＝f′(x)－12＜0，即函数F(x)在R上单调递减，则F(x)＜0的解集为(1，＋∞)，即f(x)＜x2＋12的解集为(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)3．(2019·江苏省盐城中学开学考试)已知R上的可导函数f(x)的导函数f′(x)满足：f′(x)＋f(x)0，且f(1)＝1，则不等式f(x)1ex－1的解集是________．解析：令g(x)＝exf(x)，则g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)0，所以函数g(x)是R上的增函数，又不等式f(x)1ex－1等价于exf(x)e＝e1f(1)，即g(x)g(1)，从而有x1，所以不等式f(x)1ex－1的解集为(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)4．已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，当x≠0时，f′(x)＋f（x）x0，若a＝12f12，b＝－2f(－2)，c＝ln12·fln12，则a，b，c的大小关系为________．解析：当x≠0时，f′(x)＋f（x）x0，即xf′（x）＋f（x）x0.当x0时，xf′(x)＋f(x)0.设g(x)＝xf(x)，则g(x)为偶函数且g′(x)＝xf′(x)＋f(x)．显然当x0时，g′(x)0，即此时函数g(x)单调递增．a＝g12，b＝g(－2)＝g(2)，c＝gln12＝g(ln2)，又因为2ln2120，所以acb.答案：acb5．已知函数f(x)＝ax2＋bx－lnx(a，b∈R)．设a≥0，求f(x)的单调区间．解：由f(x)＝ax2＋bx－lnx，x∈(0，＋∞)，得f′(x)＝2ax2＋bx－1x.(1)当a＝0时，f′(x)＝bx－1x.①若b≤0，当x0时，f′(x)0恒成立，所以函数f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)．②若b0，当0x1b时，f′(x)0，函数f(x)单调递减；当x1b时，f′(x)0，函数f(x)单调递增．所以函数f(x)的单调递减区间是0，1b，单调递增区间是1b，＋∞.(2)当a0时，令f′(x)＝0，得2ax2＋bx－1＝0.由Δ＝b2＋8a0，得x1＝－b－b2＋8a4a，x2＝－b＋b2＋8a4a.显然x10，x20.当0xx2时，f′(x)0，函数f(x)单调递减；当xx2时，f′(x)0，函数f(x)单调递增．所以函数f(x)的单调递减区间是0，－b＋b2＋8a4a，单调递增区间是－b＋b2＋8a4a，＋∞.综上所述，当a＝0，b≤0时，函数f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)；当a＝0，b0时，函数f(x)的单调递减区间是0，1b，单调递增区间是1b，＋∞；当a0时，函数f(x)的单调递减区间是0，－b＋b2＋8a4a，单调递增区间是－b＋b2＋8a4a，＋∞.6．已知函数f(x)＝x2＋bsinx－2(b∈R)，F(x)＝f(x)＋2，且对于任意实数x，恒有F(x)－F(－x)＝0.(1)求函数f(x)的解析式；(2)已知函数g(x)＝f(x)＋2(x＋1)＋alnx在区间(0，1)上单调递减，求实数a的取值范围．解：(1)F(x)＝f(x)＋2＝x2＋bsinx－2＋2＝x2＋bsinx，依题意，对任意实数x，恒有F(x)－F(－x)＝0，即x2＋bsinx－(－x)2－bsin(－x)＝0对∀x∈R恒成立，即2bsinx＝0，所以b＝0，所以f(x)＝x2－2.(2)因为g(x)＝x2－2＋2(x＋1)＋alnx，所以g(x)＝x2＋2x＋alnx，g′(x)＝2x＋2＋ax.因为函数g(x)在(0，1)上单调递减，所以在区间(0，1)内，g′(x)＝2x＋2＋ax＝2x2＋2x＋ax≤0恒成立，所以a≤－(2x2＋2x)在(0，1)上恒成立．因为y＝－(2x2＋2x)在(0，1)上单调递减，所以a≤－4为所求．