（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第二章 基本初等函数、导数的应用 5 第5讲 二次函数与幂

第5讲二次函数与幂函数1．若f(x)是幂函数，且满足f（4）f（2）＝3，则f12＝________.解析：设f(x)＝xa，由f（4）f（2）＝3可得4a2a＝3，即2a＝3，a＝log23，所以f12＝2－log23＝13.答案：132．对于函数y＝x2，y＝x12有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图象关于直线y＝x对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0，0)、(1，1)．其中正确的有________(把所有正确说法的序号都填上)．解析：从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质进行比较．答案：①②⑤3．比较0.20.5，0.40.3的大小，结果为________．解析：先比较0.20.5与0.20.3，再比较0.20.3与0.40.3，y＝0.2x是减函数，故0.20.50.20.3；y＝x0.3在(0，＋∞)上是增函数，故0.20.30.40.3，则0.20.50.40.3.答案：0.20.50.40.34．(2019·徐州质检)下列图象中，表示y＝x23的是________．解析：y＝x23＝3x2是偶函数，所以排除②、③，当x1时，xx23＝x131，所以xx23，所以排除①.答案：④5．(2019·盐城质检)已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表：x112f(x)122则不等式f(|x|)≤2的解集是________．解析：由表知22＝12α，所以α＝12，所以f(x)＝x.所以|x|≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4.答案：{x|－4≤x≤4}6．当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋40恒成立，则m的取值范围是________．解析：设f(x)＝x2＋mx＋4，当x∈(1，2)时，f(x)0恒成立⇔f（1）≤0，f（2）≤0⇒m≤－5，m≤－4⇒m≤－5.答案：(－∞，－5]7．(2019·江苏省高考名校联考(一))已知函数f(x)＝14x2－x＋2，x＞0，2，x≤0，则不等式f(－x2－1)≤f(－x2＋5x)的解集为________．解析：因为－x2－1≤－1＜0，所以f(－x2－1)＝2，当－x2＋5x≤0时，f(－x2－1)＝f(－x2＋5x)＝2，原不等式成立，此时，x≥5或x≤0；当－x2＋5x＞0时，则需f(－x2＋5x)≥2，即14(－x2＋5x)2－(－x2＋5x)＋2≥2，－x2＋5x≥4，得1≤x≤4.故原不等式的解集为(－∞，0]∪[1，4]∪[5，＋∞)．答案：(－∞，0]∪[1，4]∪[5，＋∞)8．(2019·苏锡常镇四市高三教学情况调研(一))若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)在区间[1，2]上有两个不同的零点，则f（1）a的取值范围为________．解析：因为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)在区间[1，2]上有两个不同的零点，所以a0，1－b2a2.Δ＝b2－4ac0，f（1）＝a＋b＋c≥0，f（2）＝4a＋2b＋c≥0⇒a0，－4ba－2，ca14×b2a2，ba＋ca＋1≥0，2ba＋ca＋4≥0.令x＝ba，y＝ca，则－4x－2，y14x2，x＋y＋1≥0，2x＋y＋4≥0，目标函数z＝f（1）a＝a＋b＋ca＝x＋y＋1.画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，则当直线z＝x＋y＋1与直线AB重合时，z取得最小值0，当直线z＝x＋y＋1过点C时，z取得最大值1.因为点C不在可行域内，所以z＝f（1）a∈[0，1)．答案：[0，1)9．已知幂函数f(x)＝x－12，若f(a＋1)f(10－2a)，则实数a的取值范围是________．解析：因为f(x)＝x－12＝1x(x0)，易知x∈(0，＋∞)时f(x)为减函数，又f(a＋1)f(10－2a)，所以a＋10，10－2a0，a＋110－2a，解得a－1，a5，a3，所以3a5.答案：(3，5)10．(2019·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(二))已知函数f(x)＝－4x2＋2ax－b(a，b∈R)的值域为(－∞，0]，若关于x的不等式f(x)≥m的解集为[c，c＋8]，则实数m的值为________．解析：因为函数f(x)＝－4x2＋2ax－b(a，b∈R)的值域为(－∞，0]，所以函数的最大值为0.令f(x)＝0，可得Δ＝4a2－4×(－4)×(－b)＝4a2－16b＝0，即b＝a24.关于x的不等式f(x)≥m可化简为4x2－2ax＋b＋m≤0，即4x2－2ax＋a24＋m≤0.又关于x的不等式f(x)≥m的解集为[c，c＋8]，所以方程4x2－2ax＋a24＋m＝0的两个根为x1＝c，x2＝c＋8，则x1＋x2＝a2x1x2＝a216＋m4，又|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝64，即a22－4a216＋m4＝64，解得m＝－64.答案：－6411．已知二次函数f(x)的图象过点A(－1，0)、B(3，0)、C(1，－8)．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在x∈[0，3]上的最值；(3)求不等式f(x)≥0的解集．解：(1)由题意可设f(x)＝a(x＋1)(x－3)，将C(1，－8)代入得－8＝a(1＋1)(1－3)，得a＝2.即f(x)＝2(x＋1)(x－3)＝2x2－4x－6.(2)f(x)＝2(x－1)2－8，当x∈[0，3]时，由二次函数图象知，f(x)min＝f(1)＝－8，f(x)max＝f(3)＝0.(3)f(x)≥0的解集为{x|x≤－1，或x≥3}．12．(2019·淮安模拟)已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值．解：(1)当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上递减，所以f(x)min＝f(1)＝－2.(2)当a0时，f(x)＝ax2－2x图象的开口方向向上，且对称轴为x＝1a.①当1a≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x图象的对称轴在[0，1]内，所以f(x)在0，1a上递减，在1a，1上递增．所以f(x)min＝f1a＝1a－2a＝－1a.②当1a1，即0a1时，f(x)＝ax2－2x图象的对称轴在[0，1]的右侧，所以f(x)在[0，1]上递减．所以f(x)min＝f(1)＝a－2.(3)当a0时，f(x)＝ax2－2x图象的开口方向向下，且对称轴x＝1a0，在y轴的左侧，所以f(x)＝ax2－2x在[0，1]上递减．所以f(x)min＝f(1)＝a－2.综上所述，f(x)min＝a－2，a1，－1a，a≥1.1．已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a≠0，b1)在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，则a＝________，b＝________．解析：g(x)＝a(x－1)2＋1＋b－a，当a0时，g(x)在[2，3]上为增函数，故g（3）＝4，g（2）＝1⇒4a＋1＋b－a＝4，a＋1＋b－a＝1⇒a＝1，b＝0.当a0时，g(x)在[2，3]上为减函数，故g（3）＝1，g（2）＝4⇒4a＋1＋b－a＝1，a＋1＋b－a＝4⇒a＝－1，b＝3.因为b1，所以a＝1，b＝0.答案：102．已知y＝f(x)是偶函数，当x0时，f(x)＝(x－1)2，若当x∈－2，－12时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为________．解析：当x0时，－x0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)2，因为x∈－2，－12，所以f(x)min＝f(－1)＝0，f(x)max＝f(－2)＝1，所以m≥1，n≤0，m－n≥1.答案：13．(2019·镇江模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，其中f(x)的最小值为f(－1)＝0，且f(x)x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，则k的取值范围是________．解析：由题意知a≠0，f(－1)＝a－b＋1＝0，且－b2a＝－1，所以a＝1，b＝2.所以f(x)＝x2＋2x＋1，f(x)x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x2＋x＋1k在[－3，－1]上恒成立．设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，则g(x)在[－3，－1]上递减．所以g(x)min＝g(－1)＝1.所以k1，即k的取值范围为(－∞，1)．答案：(－∞，1)4．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为________．解析：由题意知，y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0，3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0，3])的图象如图所示，结合图象可知，当x∈[2，3]时，y＝x2－5x＋4∈－94，－2，故当m∈－94，－2时，函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0，3])的图象有两个交点．答案：－94，－25．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a0，b∈R，c∈R)．(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝f（x），x0，－f（x），x0，求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围．解：(1)由已知得c＝1，a－b＋c＝0，－b2a＝－1，解得a＝1，b＝2，则f(x)＝(x＋1)2.则F(x)＝（x＋1）2，x0，－（x＋1）2，x0.故F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意得f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0，1]上恒成立，即b≤1x－x且b≥－1x－x在(0，1]上恒成立．又当x∈(0，1]时，1x－x的最小值为0，－1x－x的最大值为－2，故－2≤b≤0.6．(2019·常州模拟)已知函数f(x)＝|x2－1|＋x2＋kx，且定义域为(0，2)．(1)求关于x的方程f(x)＝kx＋3在(0，2)上的解；(2)若f(x)是定义在(0，2)上的单调函数，求实数k的取值范围；(3)若关于x的方程f(x)＝0在(0，2)上有两个不同的解x1，x2，求k的取值范围．解：(1)因为f(x)＝|x2－1|＋x2＋kx，所以f(x)＝kx＋3即|x2－1|＋x2＝3，当0x≤1时，|x2－1|＋x2＝1－x2＋x2＝1，此时该方程无解．当1x2时，|x2－1|＋x2＝2x2－1，原方程等价于：x2＝2，此时该方程的解为2.综上可知：方程f(x)＝kx＋3在(0，2)上的解为2.(2)因为f(x)＝|x2－1|＋x2＋kx，所以f(x)＝kx＋1，x∈（0，1]，2x2＋kx－1，x∈（1，2），若f(x)是单调递增函数，则k0，－k4≤1，所以此时k0.若f(x)是单调递减函数，则k0，－k4≥2，所以此时k≤－8，综上可知：f(x)是单调函数时k的取值范围为(－∞，－8]∪(0，＋∞)．(3)当0x≤1时，kx＝－1，①当1x2时，2x2＋kx－1＝0，②若k＝0，则①无解，②的解为x＝±22∉(1，2)，故k＝0不合题意，若k≠0，则①的解为x＝－1k.(Ⅰ)当－1k∈(0，1]，即k≤－1时，方程②中Δ＝k2＋80，故方程②中一根在(1，2)内另一根不在(1，2)内，设g(x)＝2x2＋kx－1，而x1x2＝－120，则