（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第二章 基本初等函数、导数的应用 3 第3讲 函数的单调性

第3讲函数的单调性与最值1．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是________．解析：当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－1a，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a0，且－1a≥4，解得0a≥－14.综上所述得－14≤a≤0.答案：－14，02．给定函数：①y＝x12，②y＝log12(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间(0，1)上是单调递减函数的是________．(填序号)解析：①是幂函数，在(0，＋∞)上是增函数，不符合；②中的函数是由函数y＝log12x向左平移1个单位而得到的，因为原函数在(0，＋∞)上是减函数，故符合；③中的函数图象是由函数y＝x－1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知正确；④中函数显然是增函数，故不符合．答案：②③3．“函数f(x)在[a，b]上为单调函数”是“函数f(x)在[a，b]上有最大值和最小值”的__________条件．解析：若函数f(x)在[a，b]上为单调递增(减)函数，则在[a，b]上一定存在最小(大)值f(a)，最大(小)值f(b)，所以充分性满足；反之，不一定成立，如二次函数f(x)＝x2－2x＋3在[0，2]存在最大值和最小值，但该函数在[0，2]不具有单调性，所以必要性不满足，即“函数f(x)在[a，b]上为单调函数”是“函数f(x)在[a，b]上有最大值和最小值”的充分不必要条件．答案：充分不必要4．(2019·徐州模拟)若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________.解析：f(x)＝|2x＋a|＝2x＋a，x≥－a2，－2x－a，x－a2，作出函数图象(图略)，由图象知，函数的单调递增区间为－a2，＋∞，所以－a2＝3，即a＝－6.答案：－65．函数f(x)＝log13(12x－27－x2)的最小值为________．解析：令12x－27－x20得f(x)的定义域为(3，9)．设n＝12x－27－x2，则0n≤9.所以y＝log13n的取值范围是[－2，＋∞)．故函数的最小值为－2.答案：－26．若奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，则不等式f(lgx)＋f(1)0的解集是________．解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，又因为f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)在[0，＋∞)上也为单调递减函数，所以函数f(x)在R上为单调递减函数．不等式f(lgx)＋f(1)0可化为f(lgx)－f(1)＝f(－1)，所以lgx－1，解得0x110.答案：0，1107．若函数y＝|2x－1|在(－∞，m]上单调递减，则m的取值范围是________．解析：画出图象易知y＝|2x－1|的递减区间是(－∞，0]，依题意应有m≤0.答案：(－∞，0]8．已知函数y＝1－x＋x＋3的最大值为M，最小值为m，则mM＝________．解析：显然函数的定义域是[－3，1]且y≥0，故y2＝4＋2（1－x）（x＋3）＝4＋2－x2－2x＋3＝4＋2－（x＋1）2＋4，根据根式内的二次函数，可得4≤y2≤8，故2≤y≤22，即m＝2，M＝22，所以mM＝22.答案：229．若f(x)＝（3a－1）x＋4a，x＜1，－ax，x≥1是定义在R上的减函数，则a的取值范围是________．解析：由题意知，3a－1＜0，（3a－1）×1＋4a≥－a，a＞0，解得a＜13，a≥18，a＞0，所以a∈18，13.答案：18，1310．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x0时，f(x)0，则函数f(x)在[a，b]上的最小值为________．解析：因为f(x)是定义在R上的函数，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，所以f(0)＝0，令y＝－x，则有f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0.所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是R上的奇函数．设x1x2，则x1－x20，所以f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)0.所以f(x)在R上是减函数．所以f(x)在[a，b]上有最小值f(b)．答案：f(b)11．求y＝a1－2x－x2(a＞0且a≠1)的单调区间．解：令g(x)＝1－2x－x2＝－(x＋1)2＋2，所以g(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减．当a1时，函数y＝a1－2x－x2的增区间是(－∞，－1)，减区间是(－1，＋∞)；当0a1时，函数y＝a1－2x－x2的增区间是(－1，＋∞)，减区间是(－∞，－1)．12．已知函数f(x)＝ax＋1a(1－x)(a0)，且f(x)在[0，1]上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值．解：f(x)＝a－1ax＋1a，当a1时，a－1a0，此时f(x)在[0，1]上为增函数，所以g(a)＝f(0)＝1a；当0a1时，a－1a0，此时f(x)在[0，1]上为减函数，所以g(a)＝f(1)＝a；当a＝1时，f(x)＝1，此时g(a)＝1.所以g(a)＝a，0a11a，a≥1，所以g(a)在(0，1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，又a＝1时，有a＝1a＝1，所以当a＝1时，g(a)取最大值1.1．设函数f(x)＝1，x0，0，x＝0，－1，x0，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．解析：由题意知g(x)＝x2，x1，0，x＝1，－x2，x1.函数图象如图所示，其递减区间是[0，1)．答案：[0，1)2．(2019·泰州模拟)用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f(x)＝min{2x，x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．解析：如图所示，在同一坐标系中作出y＝x＋2，y＝2x，y＝10－x的图象．根据f(x)的定义，f(x)＝min{2x，x＋2，10－x}(x≥0)的图象如图实线部分．所以f(x)＝2x，0≤x≤2，x＋2，2x4，10－x，x≥4.令x＋2＝10－x，得x＝4.当x＝4时，f(x)取最大值f(4)＝6.答案：63．设函数f(x)＝x－1x，对任意x∈[1，＋∞)，使不等式f(mx)＋mf(x)0恒成立的实数m称为函数f(x)的“伴随值”，则m的取值范围是________．解析：由题意知，f(x)为增函数且m≠0.若m0，由函数的单调性可知，f(mx)和mf(x)均为增函数，此时不符合题意．若m0，则f(mx)＋mf(x)0可化为mx－1mx＋mx－mx0，所以2mx－m＋1m·1x0，即1＋1m22x2，因为y＝2x2在x∈[1，＋∞)上的最小值为2，所以1＋1m22，即m21，解得m－1.答案：(－∞，－1)4．已知f(x)＝xx－a(x≠a)．(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．解：(1)证明：设x1x2－2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1＋2－x2x2＋2＝2（x1－x2）（x1＋2）（x2＋2）.因为(x1＋2)(x2＋2)0，x1－x20，所以f(x1)f(x2)，所以f(x)在(－∞，－2)内单调递增．(2)设1x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a＝a（x2－x1）（x1－a）（x2－a）.因为a0，x2－x10，所以要使f(x1)－f(x2)0，只需(x1－a)(x2－a)0恒成立，所以a≤1.综上所述，a的取值范围为(0，1]．5．已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.(1)若ab0，判断函数f(x)的单调性；(2)若ab0，求f(x＋1)f(x)时x的取值范围．解：(1)当a0，b0时，任意x1，x2∈R，x1x2，则f(x1)－f(x2)＝a(2x1－2x2)＋b(3x1－3x2)．因为2x12x2，a0⇒a(2x1－2x2)0，3x13x2，b0⇒b(3x1－3x2)0，所以f(x1)－f(x2)0，函数f(x)在R上是增函数．同理，当a0，b0时，函数f(x)在R上是减函数．(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x0，当a0，b0时，32x－a2b，则xlog1.5－a2b；同理，当a0，b0时，32x－a2b，则xlog1.5－a2b.6．已知函数f(x)＝lg(x＋ax－2)，其中a是大于0的常数．(1)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；(2)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)0，试确定a的取值范围．解：(1)设g(x)＝x＋ax－2，当a∈(1，4)，x∈[2，＋∞)时，g′(x)＝1－ax2＝x2－ax20.因此g(x)在[2，＋∞)上是增函数，所以f(x)在[2，＋∞)上是增函数．则f(x)min＝f(2)＝lna2.(2)对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)0.即x＋ax－21对x∈[2，＋∞)恒成立．所以a3x－x2.令h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞)．由于h(x)＝－x－322＋94在[2，＋∞)上是减函数，所以h(x)max＝h(2)＝2.故a2时，恒有f(x)0.因此实数a的取值范围为(2，＋∞)．7．定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x0时，0f(x)1.(1)试求f(0)的值；(2)判断f(x)的单调性并证明你的结论；(3)设A＝{(x，y)|f(x2)·f(y2)f(1)}，B＝{(x，y)|f(ax－y＋2)＝1，a∈R}，若A∩B＝∅，试确定a的取值范围．解：(1)在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，令m＝1，n＝0，得f(1)＝f(1)·f(0)．因为f(1)≠0，所以f(0)＝1.(2)任取x1，x2∈R，且x1x2.在已知条件f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，若取m＋n＝x2，m＝x1，则已知条件可化为：f(x2)＝f(x1)·f(x2－x1)．由于x2－x10，所以0f(x2－x1)1.为比较f(x2)，f(x1)的大小，只需考虑f(x1)的正负即可．在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，令m＝x，n＝－x，则得f(x)·f(－x)＝1.因为当x0时，0f(x)1，所以当x0时，f(x)＝1f（－x）10.又f(0)＝1，所以综上可知，对于任意的x1∈R，均有f(x1)0.所以f(x2)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]0.所以函数f(x)在R上单调递减．(3)f(x2)·f(y2)f(1)，即x2＋y21.f(ax－y＋2)＝1＝f(0)，即ax－y＋2＝0.由A∩B＝∅，得直线ax－y＋2＝0与圆面x2＋y21无公共点，所以2a2＋1≥1，解得－1≤a≤1.