（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何 8 第8讲 圆锥曲线中的热点问题刷好

第8讲圆锥曲线中的热点问题1．(2019·镇江调研)已知点A(0，2)及椭圆x24＋y2＝1上任意一点P，则PA的最大值为________．解析：设P(x0，y0)，则－2≤x0≤2，－1≤y0≤1，所以PA2＝x20＋(y0－2)2.因为x204＋y20＝1，所以PA2＝4(1－y20)＋(y0－2)2＝－3y20－4y0＋8＝－3y0＋232＋283.因为－1≤y0≤1，而－1－231，所以当y0＝－23时，PA2max＝283，即PAmax＝2213.答案：22132．设椭圆x2m2＋y2m2－1＝1(m＞1)上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P到右准线的距离为________．解析：因为m2＞m2－1，所以m2＝a2，m2－1＝b2.所以c2＝1.又3＋1＝2a⇒a＝2，所以dP－l右＝1e＝ac＝2.答案：23．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为________．解析：因为一条渐近线方程是y＝3x，所以ba＝3.①因为双曲线的一个焦点在y2＝24x的准线上，所以c＝6.②又c2＝a2＋b2，③由①②③知，a2＝9，b2＝27，此双曲线方程为x29－y227＝1.答案：x29－y227＝14．已知圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，抛物线y2＝8x的准线为l，设抛物线上任意一点P到直线l的距离为m，则m＋PC的最小值为________．解析：由题意得圆C的方程为(x＋3)2＋(y＋4)2＝4，圆心C的坐标为(－3，－4)．由抛物线定义知，当m＋PC最小时，为圆心与抛物线焦点间的距离，即m＋PC＝（－3－2）2＋（－4）2＝41.答案：415．(2019·南通质量检测)若F(c，0)是双曲线x2a2－y2b2＝1(ab0)的右焦点，过F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于A，B两点，O为坐标原点，△OAB的面积为12a27，则该双曲线的离心率e＝________．解析：设过第一、三象限的渐近线的倾斜角为θ，则tanθ＝ba，tan2θ＝2aba2－b2，因此△OAB的面积可以表示为12·a·atan2θ＝a3ba2－b2＝12a27，解得ba＝34，则e＝54.答案：546．若直线y＝kx交椭圆x24＋y2＝1于A、B两点，且AB≥10，则k的取值范围为________．解析：由y＝kx，x24＋y2＝1得x2＝44k2＋1.不妨设xA＝24k2＋1，yA＝2k4k2＋1，xB＝－24k2＋1，yB＝－2k4k2＋1.由两点间距离公式得AB2＝16（1＋k2）4k2＋1≥10，解得k2≤14.所以k的取值范围为－12≤k≤12.答案：－12，127．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，斜率为43的直线交抛物线于A，B两点，若AF→＝λFB→(λ＞1)，则λ的值为________．解析：根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AF→＝λFB→，得p2－x1，－y1＝λx2－p2，y2，故－y1＝λy2，即λ＝－y1y2.设直线AB的方程为y＝43x－p2，联立直线与抛物线方程，消元得y2－32py－p2＝0.故y1＋y2＝32p，y1·y2＝－p2，（y1＋y2）2y1·y2＝y1y2＋y2y1＋2＝－94，即－λ－1λ＋2＝－94.又λ＞1，故λ＝4.答案：48．已知F为抛物线y2＝2px(p0)的焦点，抛物线的准线与双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线分别交于A、B两点．若△AFB为直角三角形，则双曲线的离心率为________．解析：设AB与x轴交点为M，由△AFB为直角三角形，则它为等腰直角三角形，因此有MA＝MB＝MF，抛物线的准线方程为x＝－p2，把x＝－p2代入双曲线的渐近线方程y＝±bax，得A，B的纵坐标为±bp2a，因此有bp2a＝p，所以b＝2a，c＝a2＋b2＝5a，因此e＝ca＝5.答案：59．(2019·无锡调研)设F1、F2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右两个焦点，若在其右准线上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则该椭圆的离心率的取值范围是________．解析：如图，设右准线与x轴的交点为H，则PF2≥HF2.又因为F1F2＝PF2，所以F1F2≥HF2，即2c≥a2c－c，所以3c2≥a2.所以e2≥13，即e≥33.又因为e1，所以e∈33，1.答案：33，110．已知双曲线C：x24－y25＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，若AB＝5，则满足条件的l的条数为________．解析：因为a2＝4，b2＝5，c2＝9，所以F(3，0)，若A，B都在右支上，当AB垂直于x轴时，将x＝3代入x24－y25＝1得y＝±52，所以AB＝5，满足题意；若A，B分别在两支上，因为a＝2，所以两顶点的距离为2＋2＝45，所以满足|AB|＝5的直线有2条，且关于x轴对称．综上，一共有3条．答案：311．(2019·苏州模拟)已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，直线l：y＝－1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切．设动圆圆心P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且OA→·OB→＝－16，求证：直线AB恒过定点．解：(1)设P(x，y)，则x2＋（y－2）2＝(y＋1)＋1⇒x2＝8y.所以E的方程为x2＝8y.(2)证明：易知直线AB的斜率存在，设直线AB：y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)．将直线AB的方程代入x2＝8y中，得x2－8kx－8b＝0，所以x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b.OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋x21x2264＝－8b＋b2＝－16⇒b＝4，所以直线AB恒过定点(0，4)．12．(2019·南京调研测试)已知椭圆C：y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)的焦距为4且过点(2，－2)．(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆焦点的直线l与椭圆C分别交于点E，F，求OE→·OF→的取值范围．解：(1)椭圆C：y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，－2)，(0，2)，2a＝2＋0＋2＋（2＋2）2＝42，所以a＝22，b＝2，即椭圆C的方程是y28＋x24＝1.(2)若直线l垂直于x轴，则点E(0，22)，F(0，－22)，OE→·OF→＝－8.若直线l不垂直于x轴，不妨设l过该椭圆的上焦点，则l的方程为y＝kx＋2，设点E(x1，y1)，F(x2，y2)，将直线l的方程代入椭圆C的方程得到(2＋k2)x2＋4kx－4＝0，则x1＋x2＝－4k2＋k2，x1x2＝－42＋k2，所以OE→·OF→＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝－4－4k22＋k2＋－8k22＋k2＋4＝202＋k2－8，因为0＜202＋k2≤10，所以－8＜OE→·OF→≤2，所以OE→·OF→的取值范围是[－8，2]．1．已知双曲线的两条渐近线均和圆C：(x－1)2＋y2＝15相切，且双曲线的右焦点为抛物线y2＝45x的焦点，则该双曲线的标准方程为________．解析：由题意可知双曲线的c＝5.设双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线方程为kx－y＝0，根据圆心(1，0)到该直线的距离为半径15，得k2＝14，即b2a2＝14.又a2＋b2＝(5)2，则a2＝4，b2＝1，所以所求双曲线的标准方程为x24－y2＝1.答案：x24－y2＝12．已知椭圆方程为x216＋y212＝1，若M为右准线上一点，A为椭圆的左顶点，连结AM交椭圆于点P，则PMAP的取值范围是________．解析：设P点横坐标为x0，则PMAP＝8－x0x0＋4＝12x0＋4－1，因为－4x0≤4，所以PMAP＝8－x0x0＋4＝12x0＋4－1≥12.所以PMAP的取值范围是12，＋∞.答案：12，＋∞3．抛物线C1：y2＝4mx(m0)和椭圆x24m2＋y23m2＝1的交点为P.F1、F2为椭圆的左、右焦点，若存在实数m，使得△PF1F2的边长是连续的自然数，则m＝________．解析：在△PF1F2中，PF1最长，PF2最短，F1F2＝2c＝2m，所以F1F2＝2m，PF1＝2m＋1，PF2＝2m－1，又因为P在C1上，所以P()m－1，4m（m－1），将其代入椭圆x24m2＋y23m2＝1得m＝3.答案：34.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞c0，a2＝b2＋c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且PT的最小值不小于32(a－c)，则椭圆的离心率的取值范围为________．解析：依题意切线长PT＝PF22－（b－c）2，所以当且仅当PF2取得最小值时PT取得最小值，而(PF2)min＝a－c，所以（a－c）2－（b－c）2≥32(a－c)，所以0b－ca－c≤12，所以bc，2ba＋c，所以a2－c2c2，4（a2－c2）a2＋c2＋2ac，所以a22c2，5c2＋2ac－3a2≥0，所以e212，5e2＋2e－3≥0，从而解得35≤e22，故离心率的取值范围是35≤e22.答案：35≤e225．(2019·苏州模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F2(2，0)，点P1，－153在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在斜率为－1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，使得F1M＝F1N(F1为椭圆的左焦点)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．解：(1)法一：因为椭圆C的右焦点为F2(2，0)，所以c＝2，椭圆C的左焦点为F1(－2，0)．由椭圆的定义可得2a＝（1＋2）2＋－1532＋（1－2）2＋－1532＝969＋249＝26，解得a＝6，所以b2＝a2－c2＝6－4＝2.所以椭圆C的标准方程为x26＋y22＝1.法二：因为椭圆C的右焦点为F2(2，0)，所以c＝2，故a2－b2＝4，又点P1，－153在椭圆C上，则1a2＋159b2＝1，故1b2＋4＋159b2＝1，化简得3b4＋4b2－20＝0，得b2＝2，a2＝6，所以椭圆C的标准方程为x26＋y22＝1.(2)假设存在满足条件的直线l，设直线l的方程为y＝－x＋t，由x26＋y22＝1y＝－x＋t得x2＋3(－x＋t)2－6＝0，即4x2－6tx＋(3t2－6)＝0，Δ＝(－6t)2－4×4×(3t2－6)＝96－12t20，解得－22t22.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝3t2，x1x2＝3t2－64，由于F1M＝F1N，设线段MN的中点为E，则F1E⊥MN，故kF1E＝－1kMN＝1，又F1(－2，0)，Ex1＋x22，y1＋y22，即E3t4，t4，所以kF1E＝t43t4＋2＝1，解得t＝－4.当t＝－4时，不满足－22t22，所以不存在满足条件的直线l.6．(2019·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(五))如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为32，直线l：y＝－12x与椭圆E相交于A，B两点，AB＝210，C，D是椭圆E上异于A，B的两点，且直线AC，BD相交于点P，直线AD，BC相交于点Q.(1)求椭圆E的标准方程；(2)求证：直线PQ的斜率为定值．解：(1)因为e＝ca＝32，所以c2＝34a2，即a2－b2＝34a2，所以a＝2b.所以椭圆方程为x24b2＋y2b2＝1.由题意知点A在第二象限