（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何 2 第2讲 两条直线的位置关系刷好题

第2讲两条直线的位置关系1．已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________．解析：由题意得，点到直线的距离为|4×4－3×a－1|5＝|15－3a|5.又|15－3a|5≤3，即|15－3a|≤15，解得，0≤a≤10，所以a∈[0，10]．答案：[0，10]2．若直线l1：ax＋2y＝0和直线l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0垂直，则实数a的值为________．解析：由2a＋2(a＋1)＝0得a＝－12.答案：－123．直线l经过两直线7x＋5y－24＝0和x－y＝0的交点，且过点(5，1)，则l的方程是________．解析：设l的方程为7x＋5y－24＋λ(x－y)＝0，即(7＋λ)x＋(5－λ)y－24＝0，则(7＋λ)×5＋5－λ－24＝0.解得λ＝－4.故l的方程为x＋3y－8＝0.答案：x＋3y－8＝04．已知倾斜角为α的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，则cos2015π2－2α的值为________．解析：由题意可知tanα＝2，所以cos2015π2－2α＝cos1006π＋3π2－2α＝－sin2α＝－2sinαcosαsin2α＋cos2α＝－2tanα1＋tan2α＝－45.答案：－455．已知两条直线l1：ax＋by＋c＝0直线l2：mx＋ny＋p＝0，则“an＝bm”是“直线l1∥l2”的________条件．解析：l1∥l2⇒an－bm＝0且ap－cm≠0⇒l1∥l2.答案：必要不充分6．(2019·扬州模拟)已知点P(3，2)与点Q(1，4)关于直线l对称，则直线l的方程为________．解析：由题意知直线l与直线PQ垂直，直线PQ的斜率kPQ＝－1，所以直线l的斜率k＝－1kPQ＝1.又直线l经过PQ的中点(2，3)，所以直线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.答案：x－y＋1＝07．点A(1，1)到直线xcosθ＋ysinθ－2＝0的距离的最大值为________．解析：由点到直线的距离公式，得d＝|cosθ＋sinθ－2|cos2θ＋sin2θ＝2－2sinθ＋π4，又θ∈R，所以dmax＝2＋2.答案：2＋28．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0上，且AB线段的中点为P0，10a，则线段AB的长为________．解析：依题意，a＝2，P(0，5)，设A(x，2x)，B(－2y，y)，故x－2y＝0，2x＋y＝10，则A(4，8)，B(－4，2)，所以AB＝（4＋4）2＋（8－2）2＝10.答案：109．点P到点A(1，0)和直线x＝－1的距离相等，且点P到直线y＝x的距离为22，这样的点P的个数是________．解析：因为点P到点A和定直线距离相等，所以P点轨迹为抛物线，方程为y2＝4x.设P(t2，2t)，则22＝|t2－2t|2，解得t1＝1，t2＝1＋2，t3＝1－2，故P点有三个．答案：310．在直角坐标系中，A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是________．解析：如图，设点P关于直线AB，y轴的对称点分别为D，C，易求得D(4，2)，C(－2，0)，由对称性知，D，M，N，C共线，则△PMN的周长＝PM＋MN＋PN＝DM＋MN＋NC＝CD＝40＝210，210即为光线所经过的路程．答案：21011．已知直线l：3x－y＋3＝0，求：(1)点P(4，5)关于l的对称点；(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程．解：设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)．因为kPP′·kl＝－1，即y′－yx′－x×3＝－1.①又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，所以3×x′＋x2－y′＋y2＋3＝0.②由①②得x′＝－4x＋3y－95，③y′＝3x＋4y＋35.④(1)把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，所以P(4，5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2，7)．(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y得关于l的对称直线方程为－4x＋3y－95－3x＋4y＋35－2＝0，化简得7x＋y＋22＝0.12．在直线l：3x－y－1＝0上求点P和Q，使得：(1)P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大；(2)Q到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小．解：(1)如图所示，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，则kBB′·kl＝－1，即3·b－4a＝－1.所以a＋3b－12＝0.①又由于线段BB′的中点坐标为a2，b＋42，且在直线l上，所以3×a2－b＋42－1＝0，即3a－b－6＝0.②解①②得a＝3，b＝3，所以B′(3，3)．于是AB′的方程为y－13－1＝x－43－4，即2x＋y－9＝0.解3x－y－1＝0，2x＋y－9＝0，得x＝2，y＝5.即l与AB′的交点坐标为P(2，5)．(2)如图所示，设C关于l的对称点为C′，求出C′的坐标为35，245.所以AC′所在直线的方程为19x＋17y－93＝0，AC′和l交点坐标为117，267，故Q点坐标为117，267.1．已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为________．解析：因为l1，l2关于直线y＝－x对称，所以l2的方程为－x＝－2y＋3，即y＝12x＋32，即直线l2的斜率为12.答案：122．已知l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，则直线l1的方程是________．解析：当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大．因为A(1，1)，B(0，－1)，所以kAB＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k＝－12，所以直线l1的方程是y－1＝－12(x－1)，即x＋2y－3＝0.答案：x＋2y－3＝03．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为3，且PA＝PB，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是________．解析：由PA＝PB知点P在AB的垂直平分线上．由点P的横坐标为3，且PA的方程为x－y＋1＝0，得P(3，4)．直线PA，PB关于直线x＝3对称，直线PA上的点(0，1)关于直线x＝3的对称点(6，1)在直线PB上，所以直线PB的方程为x＋y－7＝0.答案：x＋y－7＝04.如图，已知A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)，E(－1，0)，F(1，0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD的斜率的取值范围为________．解析：从特殊位置考虑．如图，因为点A(－2，0)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为A1(2，4)，所以kA1F＝4.又点E(－1，0)关于直线AC：y＝x＋2的对称点为E1(－2，1)，点E1(－2，1)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为E2(1，4)，此时直线E2F的斜率不存在，所以kFDkA1F，即kFD∈(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)5．已知点P(2，－1)．(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解：(1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，－1)，显然，过P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.由已知得|－2k－1|k2＋1＝2，解得k＝34.此时l的方程为3x－4y－10＝0.综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图．由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝－1kOP＝2.由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝5.(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线．6．已知n条直线l1：x－y＋C1＝0，C1＝2，l2：x－y＋C2＝0，l3：x－y＋C3＝0，…，ln：x－y＋Cn＝0(其中C1C2C3…Cn)，已知原点O到直线l1的距离为1，在这n条平行直线中，每相邻两条直线之间的距离顺次为2、3、4、…、n.(1)求Cn；(2)求x－y＋Cn＝0与x轴、y轴围成图形的面积；(3)求x－y＋Cn－1＝0与x－y＋Cn＝0及x轴、y轴围成的图形的面积．解：(1)原点O到l1的距离d1为1，原点O到l2的距离d2为1＋2，…，原点O到ln的距离dn为1＋2＋…＋n＝n（n＋1）2.因为Cn＝2dn，所以Cn＝2n（n＋1）2.(2)设直线ln：x－y＋Cn＝0交x轴于M，交y轴于N，则S△OMN＝12|OM|·|ON|＝12C2n＝n2（n＋1）24.(3)所围成的图形是等腰梯形，由(2)知Sn＝n2（n＋1）24，则有Sn－1＝（n－1）2·n24.所以Sn－Sn－1＝n2（n＋1）24－（n－1）2·n24＝n3，所以所求面积为n3.