（江苏专用）2019-2020学年高中数学 课时跟踪检测（五）简单复合函数的导数 苏教版选修2-2

课时跟踪检测（五）简单复合函数的导数[课下梯度提能]一、基本能力达标1．下列函数不是复合函数的是()A．y＝－x3－1x＋1B．y＝cosx＋π4C．y＝1lnxD．y＝(2x＋3)4解析：选AA中的函数是一个多项式函数，B中的函数可看作函数u＝x＋π4，y＝cosu的复合函数，C中的函数可看作函数u＝lnx，y＝1u的复合函数，D中的函数可看作函数u＝2x＋3，y＝u4的复合函数，故选A.2．函数y＝x2cos2x的导数为()A．y′＝2xcos2x－x2sin2xB．y′＝2xcos2x－2x2sin2xC．y′＝x2cos2x－2xsin2xD．y′＝2xcos2x＋2x2sin2x解析：选By′＝(x2)′cos2x＋x2(cos2x)′＝2xcos2x＋x2(－sin2x)·(2x)′＝2xcos2x－2x2sin2x.3．曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于()A．2eB．eC．2D．1解析：选Cy′＝ex－1＋xex－1，故曲线在点(1,1)处切线的斜率为y′|x＝1＝2.4．设f(x)＝ln(2x－1)，若f(x)在x0处的导数f′(x0)＝1，则x0的值为()A.e＋12B.32C．1D.34解析：选B由f(x)＝ln(2x－1)，得f′(x)＝22x－1.由f′(x0)＝22x0－1＝1，解得x0＝32.故选B.5．已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为()A．3x＋2y＋2ln2－3＝0B．2x－3y＋2ln2－3＝0C．3x－2y＋2ln2－3＝0D．2x＋3y＋2ln2－3＝0解析：选Cf′(x)＝11＋x－1＋2x.由于f(1)＝ln2，f′(1)＝32，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－ln2＝32(x－1)，即3x－2y＋2ln2－3＝0.6．函数y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2的导数为________．解析：∵y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2＝x2sin(4x＋π)＝－x2sin4x，∴y′＝－x2′sin4x＋－x2·(sin4x)′＝－12sin4x－2xcos4x.答案：－12sin4x－2xcos4x7．已知函数f(x)＝(2x＋a)2且f′(2)＝20，则a＝________.解析：f′(x)＝2(2x＋a)(2x＋a)′＝8x＋4a，则8×2＋4a＝20，解得a＝1.答案：18．函数f(x)＝ln2x＋3－2x2x的图象在点(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于________．解析：f′(x)＝22x＋3－4xx－[ln2x＋3－2x2]x2＝2x2x＋3－ln2x＋3－2x2x2，则f′(－1)＝－4，故该切线方程为y＝－4x－2，切线在x，y轴上的截距分别为－12，－2，故所求三角形的面积为12.答案：129．求下列函数的导数：(1)y＝sin(2x－1)；(2)y＝x·e2x＋1.解：(1)y＝sin(2x－1)由y＝sinu与u＝2x－1复合而成，∴yx′＝(sinu)′·(2x－1)′＝2cosu＝2cos(2x－1)．(2)y′＝(x·e2x＋1)′＝x′·e2x＋1＋x·(e2x＋1)′＝e2x＋1＋x·e2x＋1·(2x＋1)′＝e2x＋1(1＋2x)．10．求曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离．解：设直线l与曲线y＝ln(2x－1)相切于点P(x0，y0)，且与直线2x－y＋3＝0平行．由直线l的斜率k＝22x0－1＝2，得x0＝1，所以P(1,0)，因此直线l的方程为2x－y－2＝0.直线l与直线2x－y＋3＝0的距离为d＝55＝5，所以曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是5.二、综合能力提升1．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为()A．1B．2C．－1D．－2解析：选B∵y＝ln(x＋a)，∴y′＝1x＋a，∵直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，∴切线的斜率为1，则1x＋a＝1，∴x＝1－a，y＝ln1＝0，∴切点坐标为(1－a,0)，∵切点(1－a,0)在切线y＝x＋1上，∴0＝1－a＋1，解得a＝2.2．设函数f(x)＝cos(3x＋φ)(－π＜φ＜0)．若f(x)＋f′(x)是偶函数，则φ＝()A.π3B．－π3C.π6D．－π6解析：选Bf(x)＋f′(x)＝cos(3x＋φ)－3sin(3x＋φ)＝2sin3x＋φ＋5π6，因为f(x)＋f′(x)为偶函数，所以当x＝0时2sin3x＋φ＋5π6＝±2，则φ＋5π6＝kπ＋π2，k∈Z，所以φ＝kπ－π3，k∈Z，又－π＜φ＜0，所以φ＝－π3.3．已知A(1，f′(1))是函数y＝f(x)的导函数图象上的一点，点B的坐标为(x，ln(2－x))，向量a＝(1,1)，设f(x)＝AB―→·a，试求函数y＝f(x)的表达式．解：∵AB―→＝(x－1，ln(2－x)－f′(1))，a＝(1,1)，∴f(x)＝AB―→·a＝x－1＋ln(2－x)－f′(1)＝ln(2－x)＋x－f′(1)－1，∴f′(x)＝12－x·(2－x)′＋1＝1x－2＋1，∴f′(1)＝0，∴f(x)＝ln(2－x)＋x－1.4．某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s(t)＝3sinπ12t＋5π6(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义．解：设f(x)＝3sinx，x＝φ(t)＝π12t＋5π6.由复合函数求导法则得s′(t)＝f′(x)·φ′(t)＝3cosx·π12＝π4cosπ12t＋5π6.将t＝18代入s′(t)，得s′(18)＝π4cos7π3＝π8(m/h)．它表示当t＝18h时，潮水的高度上升的速度为π8m/h.