（江苏专用）2019-2020学年高中数学 课时跟踪检测（十二）复数的乘方与除法运算 苏教版选修2-

课时跟踪检测（十二）复数的乘方与除法运算[课下梯度提能]一、基本能力达标1．(2019·全国卷Ⅰ)设z＝3－i1＋2i，则|z|＝()A．2B.3C.2D．1解析：选C法一：∵z＝3－i1＋2i＝3－i1－2i1＋2i1－2i＝1－7i5，∴|z|＝152＋－752＝2.法二：|z|＝3－i1＋2i＝105＝2.2．已知1－i2z＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z等于()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i解析：选D因为1－i2z＝1＋i，所以z＝1－i21＋i＝－2i1＋i＝－2i1－i2＝－1－i.3．(1＋i)20－(1－i)20的值是()A．－1024B．1024C．0D．512解析：选C(1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.4．已知复数z的实部为－1，虚部为2，则5iz＝()A．2－iB．2＋iC．－2－iD．－2＋i解析：选A由条件知z＝－1＋2i，则5iz＝5i－1－2i－1＋2i－1－2i＝－5i＋105＝2－i.5．若复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，则1z＋a的虚部为()A．－25B．－25iC.25D.25i解析：选A由题意得a2－1＝0，a＋1≠0，所以a＝1，所以1z＋a＝11＋2i＝1－2i1＋2i1－2i＝15－25i，根据虚部的概念，可得1z＋a的虚部为－25.选A.6．复数1＋2i2－i＝________.解析：法一：1＋2i2－i＝1＋2i2＋i2－i2＋i＝5i5＝i.法二：1＋2i2－i＝i1＋2ii2－i＝i1＋2i2i＋1＝i.答案：i7．如果z1＝－2－3i，z2＝3－2i2＋i2，则z1z2＝________.解析：∵z1＝－2－3i，z2＝3－i2＋i2，∴z1z2＝－2－3i2＋i23－2i＝－i3－2i2＋i23－2i＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i＝4－3i.答案：4－3i8．i是虚数单位，i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝________.解析：设S＝i＋2i2＋3i3＋…＋8i8，①则iS＝i2＋2i3＋…＋7i8＋8i9，②①－②得(1－i)S＝i＋i2＋i3＋…＋i8－8i9＝i1－i81－i－8i＝－8i.∴S＝－8i1－i＝－8i1＋i1－i1＋i＝－8i1＋i2＝4－4i.答案：4－4i9．计算：1＋2i·i100＋1－i1＋i52－1＋i220.解：1＋2i·i100＋1－i1＋i52－1＋i220＝[]1＋2i·1＋－i52－i10＝(1＋i)2－i10＝1＋2i.10．复数z＝1＋i2＋31－i2＋i，若z2＋az＜0，求纯虚数a.解：z＝1＋i2＋31－i2＋i＝2i＋3－3i2＋i＝3－i2＋i＝1－i.∵a为纯虚数，∴设a＝mi(m≠0)，则z2＋az＝(1－i)2＋mi1－i＝－2i＋mi－m2＝－m2＋m2－2i＜0，∴－m2＜0，m2－2＝0，∴m＝4.∴a＝4i.二、综合能力提升1．已知复数z满足(1－i)z＝i2020(其中i为虚数单位)，则z的虚部为()A.12B．－12C.12iD．－12i解析：选B因为z＝i20201－i＝i4×5051－i＝11－i＝1＋i2.所以z＝12－12i，所以z的虚部为－12.2．已知x，y∈R，i是虚数单位．若x＋yi与3＋i1＋i互为共轭复数，则x＋y＝()A．0B．1C．2D．3解析：选D因为3＋i1＋i＝3＋i1－i1＋i1－i＝4－2i2＝2－i，所以3＋i1＋i的共轭复数为2＋i，即x＝2，y＝1，所以x＋y＝3，故选D.3．已知复数z＝1＋i，求实数a，b，使az＋2bz＝(a＋2z)2.解：因为z＝1＋i，所以az＋2bz＝(a＋2b)＋(a－2b)i，(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i.因为a，b都是实数，所以由az＋2bz＝(a＋2z)2，得a＋2b＝a2＋4a，a－2b＝4a＋2，解得a＝－2或a＝－4，对应得b＝－1或b＝2，所以所求实数为a＝－2，b＝－1或a＝－4，b＝2.4．已知1＋i是实系数方程x2＋ax＋b＝0的一个根．(1)求a，b的值；(2)试判断1－i是否是方程的根．解：(1)∵1＋i是方程x2＋ax＋b＝0的根，∴(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝0，即(a＋b)＋(a＋2)i＝0，∴a＋b＝0，a＋2＝0，∴a＝－2，b＝2.∴a、b的值为a＝－2，b＝2.(2)方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程，左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝－2i－2＋2i＋2＝0显然方程成立．∴1－i也是方程的一个根.