（江苏专用）2019-2020学年高中数学 课时跟踪检测（七）极大值与极小值 苏教版选修2-2

课时跟踪检测（七）极大值与极小值[课下梯度提能]一、基本能力达标1．函数y＝x－ln(1＋x2)的极值情况是()A．有极小值B．有极大值C．既有极大值又有极小值D．无极值解析：选D∵y′＝1－11＋x2·(1＋x2)′＝1－2x1＋x2＝x－121＋x2≥0，∴函数y＝x－ln(1＋x2)无极值.2．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极大值点，则a＝()A．－4B．－2C．4D．2解析：选Bf′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，令f′(x)＝0得x＝－2或x＝2，易得f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，故f(x)的极大值点为－2，即a＝－2，故选B.3．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)()A．在(－∞，0)上为减函数B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞)上为减函数D．在x＝2处取极大值解析：选C由导函数的图象可知：x∈(－∞，0)∪(2,4)时，f′(x)0，x∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f′(x)0，因此f(x)在(－∞，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，＋∞)上为减函数，所以在x＝0处取得极大值，在x＝2处取得极小值，在x＝4处取得极大值，因此选C.4．若函数f(x)＝2x3－3x2＋a的极大值为6，则a的值是()A．0B．1C．5D．6解析：选D∵f(x)＝2x3－3x2＋a，∴f′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1，经判断易知极大值为f(0)＝a＝6，5．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围为()A．(－∞，－1)B．(－1，＋∞)C.－∞，－1eD.－1e，＋∞解析：选A∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.令y′＝ex＋a＝0，则ex＝－a，∴x＝ln(－a)．又∵x＞0，∴－a＞1，即a＜－1.6．若函数f(x)＝ax2＋bx在x＝1a处有极值，则b的值为________．解析：f′(x)＝2ax＋b，∵函数f(x)在x＝1a处有极值，∴f′1a＝2a·1a＋b＝0，即b＝－2.答案：－27.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)．如图，则下列说法中正确的是________．(填序号)①当x＝32时，函数f(x)取得最小值；②f(x)有两个极值点；③当x＝2时函数值取得极小值；④当x＝1时函数取得极大值．解析：由图象可知，x＝1，x＝2是函数的两极值点，∴②正确；又x∈(－∞，1)∪(2，＋∞)时，f′(x)＞0；x∈(1,2)时，f′(x)＜0，∴x＝1是极大值点，x＝2是极小值点，故③④正确．答案：②③④8．若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为______．解析：由题意，f′(x)＝3x2＋2x－a，则f′(－1)f′(1)0，即(1－a)(5－a)0，解得1a5，另外，当a＝1时，函数f(x)＝x3＋x2－x－4在区间(－1，1)上恰有一个极值点，当a＝5时，函数f(x)＝x3＋x2－5x－4在区间(－1,1)没有极值点．故实数a的范围为[1,5)．答案：[1,5)9．求函数f(x)＝2xx2＋1－2的极值．解：函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝2x2＋1－4x2x2＋12＝－2x－1x＋1x2＋12.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)－3－1所以当x＝－1时，函数有极小值，且f(x)极小值＝－3；当x＝1时，函数有极大值，且f(x)极大值＝－1.10．已知函数f(x)＝13x3－4x＋4，求函数的极值，并画出函数的大致图象．解：f′(x)＝x2－4.解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)283－43从上表看出，当x＝－2时，函数有极大值，且极大值为f(－2)＝283；而当x＝2时，函数有极小值，且极小值为f(2)＝－43.函数f(x)＝13x3－4x＋4的图象如图所示．二、综合能力提升1．若函数f(x)＝13x3－12(2b＋1)x2＋b(b＋1)x在(0,2)内有极小值，则()A．0＜b＜1B．0＜b＜2C．－1＜b＜1D．－1＜b＜2解析：选Cf′(x)＝x2－(2b＋1)x＋b(b＋1)＝(x－b)·[x－(b＋1)]，令f′(x)＝0，得x＝b或x＝b＋1，当x＜b时，f′(x)＞0，函数是增函数；当b＜x＜b＋1时，f′(x)＜0，函数是减函数；当x＞b＋1时，f′(x)＞0，函数是增函数，∴x＝b＋1是极小值点，∴0＜b＋1＜2，∴－1＜b＜1，故选C.2．若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为________．解析：因为f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，所以f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.因为x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，所以－2是x2＋(a＋2)x＋a－1＝0的根，所以a＝－1，f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1＝(x＋2)(x－1)ex－1.令f′(x)0，解得x－2或x1，令f′(x)0，解得－2x1，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，f(x)取得极小值，且f(x)极小值＝f(1)＝－1.答案：－13．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.从而a＝4，b＝4.(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)ex－12.令f′(x)＝0，得x＝－ln2或x＝－2.从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f′(x)0；当x∈(－2，－ln2)时，f′(x)0.故f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．4．已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．解：(1)∵f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．当a0时，对x∈R，有f′(x)0，∴当a0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a0时，由f′(x)0解得x－a，或xa，由f′(x)0解得－axa，∴当a0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，f(x)的单调减区间为(－a，a)．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0.∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1，由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的单调性可知m的取值范围是(－3,1)．