（江苏专用）2019-2020学年高中数学 课时跟踪检测（九）导数在实际生活中的应用 苏教版选修2-

课时跟踪检测（九）导数在实际生活中的应用[课下梯度提能]一、基本能力达标1．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关的统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数给出：y＝－18t3－34t2＋36t－6294，则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是()A．6时B．7时C．8时D．9时解析：选Cy′＝－38t2－32t＋36＝－38(t＋12)(t－8)．令y′＝0，得t＝8或t＝－12(舍去)，则当6≤t8时，y′0，当8t≤9时，y′0，所以当t＝8时，通过该路段所用的时间最多．2．把一段长为12cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是()A.332cm2B．4cm2C．32cm2D．23cm2解析：选D设一段为x，则另一段为12－x(0＜x＜12)，则S(x)＝12×x32×32＋12×12－x32×32＝342x29－8x3＋16，∴S′(x)＝3449x－83.令S′(x)＝0，得x＝6，当x∈(0,6)时，S′(x)＜0，当x∈(6,12)时，S′(x)＞0，∴当x＝6时，S(x)最小．∴Smin＝3429×62－83×6＋16＝23(cm2)．3．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1200＋275x3，且产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为()A．15件B．20件C．25件D．30件解析：选C设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知k＝250000，则a2x＝250000，所以a＝500x.总利润y＝500x－275x3－1200(x0)，y′＝250x－225x2，由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)时，y′0，x∈(25，＋∞)时，y′0，所以x＝25时，y取最大值．4．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为()A．RB．2RC.43RD.34R解析：选C设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，∴V＝13πr2h＝π3h(2Rh－h2)＝23πRh2－π3h3，V′＝43πRh－πh2.令V′＝0得h＝43R.当0h4R3时，V′0；当4R3h2R时，V′0.因此当h＝43R时，圆锥体积最大．故应选C.5．张师傅欲将一球形的石材工件削砍加工成一圆柱形的新工件．已知原球形工件的半径为R，则张师傅的材料利用率的最大值等于注：材料利用率＝新工件的体积原工件的体积()A.22B.328C.33D.3316解析：选C设圆柱形工件的高为h，底面半径为r，则圆柱形工件的体积为V(h)＝πr2h＝πhR2－h24，所以V′(h)＝πR2－3h24.令V′(h)＝0，得h＝23R或h＝－23R(舍去)，易知，h＝23R时圆柱的体积最大，为π·23R·R2－R23＝4π33R3，因此材料利用率为433πR343πR3＝33，故选C.6．已知某生产厂家的年利润y(单元：万元)与年产量x(单位：万件)之间的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________万件．解析：y′＝－x2＋81，令y′＝0，得x＝9(x＝－9舍去)，且经讨论知x＝9是函数取极大值的点，所以厂家获得最大年利润的年产量是9万件．答案：97.如图，将直径为d的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比(强度系数为k，k0)．要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应为________．解析：设断面高为h，则h2＝d2－x2.设横梁的强度函数为f(x)，则f(x)＝kxh2＝kx(d2－x2)，0xd.令f′(x)＝k(d2－3x2)＝0，解得x＝±33d(舍去负值)．当0x33d时，f′(x)0，f(x)单调递增；当33dxd时，f′(x)0，f(x)单调递减．所以函数f(x)在定义域(0，d)内只有一个极大值点x＝33d.所以x＝33d时，f(x)有最大值．答案：33d8.如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．解析：设CD＝x，则点C坐标为x2，0，点B坐标为x2，1－x22，所以矩形ABCD的面积S＝f(x)＝x·1－x22＝－x34＋x(x∈(0,2))．由f′(x)＝－34x2＋1＝0，得x1＝－23(舍去)，x2＝23，所以x∈0，23时，f′(x)＞0，f(x)是递增的，x∈23，2时，f′(x)＜0，f(x)是递减的，当x＝23时，f(x)取最大值439.答案：4399.如图，某城市有一块半径为40m的半圆形绿化区域(以O为圆心，AB为直径)，现对其进行改建，在AB的延长线上取点D，OD＝80m，在半圆上选定一点C，改建后绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为Sm2.设∠AOC＝xrad.(1)写出S关于x的函数关系式S(x)，并指出x的取值范围；(2)试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．解：(1)由题意得，S(x)＝12×40x×40＋12×40×80×sin(π－x)＝800x＋1600sinx(0xπ)．(2)S′(x)＝800＋1600cosx.当0x2π3时，S′(x)0；当2π3xπ时，S′(x)0.∴x＝2π3时，S取得最大值，为1600π3＋8003m2.10．某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量将会增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成关于x的函数y＝f(x)．(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解：(1)若商品降低x元，则一个星期多卖的商品为kx2件．由已知条件，得k·22＝24，解得k＝6.则有f(x)＝(30－x－9)(432＋6x2)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21]．(2)由(1)得，f′(x)＝－18x2＋252x－432.令f′(x)＝0，得x＝2或x＝12.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2,12)12(12,21)21f′(x)－0＋0－f(x)90728664116640所以当x＝12时，f(x)取得极大值．因为f(0)＝9072，f(12)＝11664，f(21)＝0，所以定价为30－12＝18(元)，能使一个星期的商品销售利润最大．二、综合能力提升1．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．由已知得a＝2x，h＝60－2x2＝2(30－x)，0＜x＜30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以当x＝15时，S取得最大值．(2)V＝a2h＝22(－x3＋30x2)，V′＝62x(20－x)．由V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．此时ha＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.2．某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米．以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y＝ax2＋b(其中a，b为常数)模型．(1)求a，b的值；(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．解：(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5,40)，(20，2.5)．将其分别代入y＝ax2＋b，得a25＋b＝40，a400＋b＝2.5，解得a＝1000，b＝0.(2)①由(1)知，y＝1000x2(5≤x≤20)，则点P的坐标为t，1000t2.设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B两点，y′＝－2000x3，则l的方程为y－1000t2＝－2000t3(x－t)，由此得A3t2，0，B0，3000t2.故f(t)＝3t22＋3000t22＝32t2＋4×106t4，t∈[5,20]．②设g(t)＝t2＋4×106t4，则g′(t)＝2t－16×106t5.令g′(t)＝0，解得t＝102.当t∈(5,102)时，g′(t)＜0，g(t)是减函数；当t∈(102，20)时，g′(t)＞0，g(t)是增函数．从而，当t＝102时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min＝300，此时f(t)min＝153.故当t＝102时，公路l的长度最短，最短长度为153千米．