（江苏专用）2019-2020学年高中数学 课时跟踪检测（二十一）二项式系数的性质及应用 苏教版选修

课时跟踪检测（二十一）二项式系数的性质及应用[课下梯度提能]一、基本能力达标1．已知C0n＋2C1n＋22C2n＋…＋2nCnn＝729，则C1n＋C3n＋C5n的值等于()A．64B．32C．63D．31解析：选B由已知(1＋2)n＝3n＝729，解得n＝6，则C1n＋C3n＋C5n＝C16＋C36＋C56＝12×26＝32.2．若C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn能被7整除，则x，n的值可能为()A．x＝5，n＝5B．x＝5，n＝4C．x＝4，n＝4D．x＝4，n＝3解析：选BC1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn＝(1＋x)n－1，检验得B正确．3．(x－y)7的展开式中，系数的绝对值最大的项是()A．第4项B．第4、5项C．第5项D．第3、4项解析：选B(x－y)n的展开式有n＋1项，当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大．而(x－y)7的展开式中，系数的绝对值最大的项是中间两项，即第4、5项．4．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，则a0＋a1＋a2＋…＋a5＝()A．32B．1C．－243D．1或－243解析：选B(a－x)5展开式的通项为Tr＋1＝(－1)rCr5·a5－r·xr，令r＝2，得a2＝(－1)2C25·a3＝80，解得a＝2.所以a0＋a1＋…＋a5＝(a－1)5＝1.5．在1x＋1x3n的展开式中，所有奇数项的二项式系数之和等于1024，则中间项的二项式系数是()A．462B．330C．682D．792解析：选A1x＋1x3n的展开式中，所有奇数项的二项式系数之和等于2n－1＝1024，∴n＝11，则中间项的二项式系数是C511＝C611＝462，故选A.6．若3x－1xn的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为________．解析：令x＝1,2n＝64⇒n＝6.由Tr＋1＝Cr6·36－r·x6－r2·(－1)r·x－r2＝(－1)rCr636－rx3－r，令3－r＝0⇒r＝3.所以常数项为－C3633＝－20×27＝－540.答案：－5407．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝________.解析：(1＋x)10＝[2－(1－x)]10其通项公式为：Tr＋1＝Cr10210－r(－1)r(1－x)r，a8是r＝8时，第9项的系数．所以a8＝C81022(－1)8＝180.答案：1808．若C3n＋123＝Cn＋623(n∈N*)且(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝________.解析：由C3n＋123＝Cn＋623，得3n＋1＝n＋6(无整数解，舍去)或3n＋1＝23－(n＋6)，解得n＝4，问题即转化为求(3－x)4的展开式中各项系数和的问题，只需在(3－x)4中令x＝－1，即得a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝[3－(－1)]4＝256.答案：2569．二项式(2x－3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.(1)二项式系数之和为C09＋C19＋C29＋…＋C99＝29.(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝1，y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.(3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，①令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－…－a9＝59，②将①②两式相加，得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝59－12，此即为所有奇数项系数之和．10．已知x＋2x2n的展开式中，只有第6项的二项式系数最大．(1)求该展开式中所有有理项的项数；(2)求该展开式中系数最大的项．解：(1)由题意可知n2＋1＝6，解得n＝10.∴Tr＋1＝Cr10x10－r22rx－2r＝Cr102rx10－5r2，0≤r≤10，且r∈N.要求该展开式中的有理项，只需令10－5r2∈Z，∴r＝0,2,4,6,8,10，所有有理项的项数为6项．(2)设第r＋1项的系数最大，则Cr102r≥Cr－1102r－1，Cr102r≥Cr＋1102r＋1，即2r≥111－r，110－r≥2r＋1，解得193≤r≤223，∵r∈N，得r＝7.∴展开式中的系数最大的项为T8＝C71027x－252＝15360x－252.二、综合能力提升1．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m等于()A．5B．6C．7D．8解析：选B由二项式系数的性质知，二项式(x＋y)2m的展开式中二项式系数的最大值有一项，即Cm2m＝a，二项式(x＋y)2m＋1的展开式中二项式系数的最大值有两项，即Cm2m＋1＝Cm＋12m＋1＝b，因此13Cm2m＝7Cm2m＋1，所以13·2m！m！m！＝7·2m＋1！m！m＋1！，所以m＝6.2．在二项式x＋3xn的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则展开式中常数项的值为________．解析：令x＝1，得各项系数的和为4n，而各项的二项式系数的和等于2n，根据已知，得方程4n＋2n＝72，解得n＝3.所以二项展开式的通项Tr＋1＝Cr3(x)3－r3xr＝3rCr3x32－32r，显然当r＝1时，Tr＋1是常数项，值为3C13＝9.答案：93．求证：32n＋2－8n－9能被64整除．证明：∵32n＋2－8n－9＝9n＋1－8n－9＝(1＋8)n＋1－8n－9＝C0n＋1＋C1n＋1·8＋C2n＋1·82＋C3n＋1·83＋…＋Cnn＋1·8n＋Cn＋1n＋1·8n＋1－8n－9＝1＋(n＋1)·8＋C2n＋1·82＋C3n＋1·83＋…＋Cnn＋1·8n＋8n＋1－8n－9＝C2n＋1·82＋C3n＋1·83＋…＋Cnn＋1·8n＋8n＋1＝82(C2n＋1＋C3n＋1·8＋…＋Cnn＋18n－2＋8n－1)，又∵C2n＋1＋C3n＋1·8＋…＋Cnn＋18n－2＋8n－1是整数，∴32n＋2－8n－9能被64整除．4．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，如图是一个11阶杨辉三角：(1)求第20行中从左到右的第4个数；(2)求n阶(包括0阶)杨辉三角的所有数的和；(3)在第2斜列中，前5个数依次为1,3,6,10,15；第3斜列中，第5个数为35.显然，1＋3＋6＋10＋15＝35.事实上，一般地有这样的结论：第m－1斜列中(从右上到左下)前k个数之和，一定等于第m斜列中第k个数．试用含有m，k(m，k∈N*)的数字公式表示上述结论，并给予证明．解：(1)C320＝1140.(2)1＋2＋22＋…＋2n＝2n＋1－1.(3)Cm－1m－1＋Cm－1m＋…＋Cm－1m＋k－2＝Cmm＋k－1.证明：左边＝Cmm＋Cm－1m＋…＋Cm－1m＋k－2＝Cmm＋1＋Cm－1m＋1＋…＋Cm－1m＋k－2＝…＝Cmm＋k－2＋Cm－1m＋k－2＝Cmm＋k－1＝右边．