（江苏专用）2019-2020学年高中数学 课时跟踪检测（二）瞬时变化率——导数 苏教版选修2-2

课时跟踪检测（二）瞬时变化率——导数[课下梯度提能]一、基本能力达标1．一质点运动的方程为S＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度为()A．－3B．3C．6D．－6解析：选D∵当Δt无限趋近于0时，－3Δt－6无限趋近于常数－6，∴该质点在t＝1时的瞬时速度为－6.2．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数y＝f(x)的图象上，若函数f(x)从x1到x2的平均变化率为3，则下面叙述正确的是()A．曲线y＝f(x)的割线AB的倾斜角为π6B．曲线y＝f(x)的割线AB的倾斜角为π3C．曲线y＝f(x)的割线AB的斜率为－3D．曲线y＝f(x)的割线AB的斜率为－33解析：选B函数f(x)从x1到x2的平均变化率就是割线AB的斜率，所以kAB＝3，割线AB的倾斜角为π3，故选B.3．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝32处的瞬时变化率是()A．3B．－3C．2D．－2解析：选B因为ΔyΔx＝f32＋Δx－f32Δx＝－Δx－3，所以当Δx无限趋近于0时，－Δx－3无限趋近于－3.4．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()解析：选A依题意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足．5．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系式为s＝18t2，则t＝2时，此木头在水平方向的瞬时速度为()A．2B．1C.12D.14解析：选C因为Δs＝18(2＋Δt)2－18×22＝12Δt＋18(Δt)2，所以ΔsΔt＝12＋18Δt，当Δt无限趋近于0时，12＋18Δt无限趋近于12，因此t＝2时，木块在水平方向的瞬时速度为12，故选C.6．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝12x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.解析：由题意知f′(1)＝12，f(1)＝12＋2＝52，所以f(1)＋f′(1)＝52＋12＝3.答案：37．曲线f(x)＝12x2－2在点1，－32处的切线的倾斜角为________．解析：∵f1＋Δx－f1Δx＝121＋Δx2－2－12－2Δx＝12Δx2＋ΔxΔx＝12Δx＋1.∴当Δx无限趋近于0时，f1＋Δx－f1Δx无限趋近于常数1，即切线的斜率为1.∴切线的倾斜角为π4.答案：π48.已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝f(2)－f(1)，则k1，k2，k3之间的大小关系为________．解析：k1表示曲线在x＝1处的切线的斜率，k2表示曲线在x＝2处的切线的斜率，k3表示两点(1，f(1))，(2，f(2))连线的斜率，由图可知：k1＞k3＞k2.答案：k1＞k3＞k29．求函数y＝x在x＝1处的导数．解：法一：∵Δy＝1＋Δx－1，∴ΔyΔx＝1＋Δx－1Δx＝11＋Δx＋1，当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx＝11＋Δx＋1无限趋近于12，∴函数y＝x在x＝1处的导数为12.法二：ΔyΔx＝x＋Δx－xΔx＝1x＋Δx＋x，当Δx→0时，ΔyΔx→12x，所以y′＝12x.当x＝1时，y′＝12.∴函数y＝x在x＝1处的导数为12.10．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程．解：∵31＋Δx2－41＋Δx＋2－3×12－4×1＋2Δx＝2Δx＋3Δx2Δx＝2＋3·Δx，∴当Δx→0时，2＋3·Δx→2，∴f′(1)＝2，∴直线的斜率为2，∴直线方程为y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.二、综合能力提升1．已知f(x)＝3x2＋1,g(x)＝2x3＋2，则适合f′(x0)＝g′(x0)的x0的值为()A．0B．1C．0或1D．±1解析：选D由导数的定义知，Δy1Δx＝[3x0＋Δx2＋1]－3x20＋1x0＋Δx－x0＝6x0＋3(Δx)，Δy2Δx＝[2x0＋Δx3＋2]－2x30＋2x0＋Δx－x0＝6x20＋6x0(Δx)＋2(Δx)2，当Δx无限趋近于0时，Δy1Δx→6x0，Δy2Δx→6x20，因为f′(x0)＝g′(x0)，所以6x0＝6x20，所以x0＝0或1.2．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是________．解析：∵ΔyΔx＝x0＋Δx3＋11－x30－11Δx＝3x0Δx＋3x20＋(Δx)2，∴当x0＝1，Δx→0时，k＝f′(1)＝3.∴曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线为y＝3x＋9.∴当x＝0时，y＝9.因此所求切线与y轴交点的纵坐标为9.答案：93．子弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动，运动方程为s＝12at2，如果它的加速度是a＝5×105m/s2，子弹在枪筒中的运动时间为1.6×10－3s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．解：运动方程为s＝12at2.因为Δs＝12a(t0＋Δt)2－12at20＝at0(Δt)＋12a(Δt)2，所以ΔsΔt＝at0＋12a(Δt)．所以当Δt→0时，ΔsΔt→at0.由题意知，a＝5×105m/s2，t0＝1.6×10－3s，所以at0＝8×102＝800(m/s)，即子弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.4．若一物体的运动方程如下：(位移s的单位：m，时间t的单位：s)s＝29＋3t－32，0≤t＜3，3t2＋2，t≥3.求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t＝1时的瞬时速度．解：(1)因为物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，物体在t∈[3,5]内的位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物体在t∈[3,5]内的平均速度为ΔsΔt＝482＝24m/s.(2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度．因为ΔsΔt＝s0＋Δt－s0Δt＝29＋3[0＋Δt－3]2－29－3×0－32Δt＝3Δt－18，所以物体在t＝0处的瞬时变化率为limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(3Δt－18)＝－18.即物体的初速度为－18m/s.(3)物体在t＝1时的瞬时速度，即为函数在t＝1处的瞬时变化率．因为ΔsΔt＝s1＋Δt－s1Δt＝29＋3[1＋Δt－3]2－29－3×1－32Δt＝3Δt－12，所以物体在t＝1时的瞬时变化率为limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(3Δt－12)＝－12.即物体在t＝1时的瞬时速度为－12m/s.