（江苏专用）2019-2020学年高中数学 阶段质量检测（二）数系的扩充与复数的引入 苏教版选修2-

阶段质量检测（二）数系的扩充与复数的引入(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i为虚数单位，1i＋1i3＋1i5＋1i7＝()A．0B．2iC．－2iD．4i解析：选A∵i2＝－1，∴1i＋1i3＋1i5＋1i7＝1i－1i＋1i－1i＝0.2．当23m1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选D∵23m1，∴3m－20，m－10，∴点(3m－2，m－1)在第四象限．3．若a为实数，且2＋ai1＋i＝3＋i，则a＝()A．－4B．－3C．3D．4解析：选D∵2＋ai1＋i＝3＋i，∴2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，∴a＝4，故选D.4.如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()A．AB．BC．CD．D解析：选B设z＝－a＋bi(a，b0)，则z的共轭复数z－＝－a－bi，它对应点的坐标为(－a，－b)，是第三象限的点．故选B.5．已知复数z满足(i－1)(z－i3)＝2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数为()A．i－1B．1＋2iC．1－iD．1－2i解析：选B依题意可得z＝2ii－1＋i3＝－2i1＋i1－i1＋i－i＝－(i－1)－i＝1－2i，其共轭复数为1＋2i，故选B.6．若a1－i＝1－bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a＋bi|＝()A．2－iB．2＋iC．5D.5解析：选D∵a，b∈R，且a1－i＝1－bi，则a＝(1－bi)(1－i)＝(1－b)－(1＋b)i，∴a＝1－b，0＝1＋b，∴a＝2，b＝－1，∴|a＋bi|＝|2－i|＝22＋－12＝5.7．若复数z满足|3z＋1|＝|z－i|，则复数z对应点的轨迹是()A．直线B．正方形C．圆D．椭圆解析：选C设z＝x＋yi，则|3x＋3yi＋1|＝|x＋yi－i|，∴(3x＋1)2＋9y2＝x2＋(y－1)2，即4x2＋4y2＋3x＋y＝0.∴复数z对应点Z的轨迹为圆．故选C.8．已知z是纯虚数，z＋21－i是实数，那么z＝()A．2iB．iC．－iD．－2i解析：选D设纯虚数z＝bi(b∈R且b≠0)，代入z＋21－i＝bi＋21－i＝bi＋21＋i1－i1＋i＝2－b＋b＋2i2，由于其为实数，∴b＝－2，∴z＝－2i.9．设z＝1－i(i是虚数单位)，若复数2z＋z2在复平面内对应的向量为OZ→，则向量OZ→的模是()A．1B.2C.3D．2解析：选B∵z＝1－i(i是虚数单位)，∴2z＋z2＝21－i＋(1－i)2＝21＋i1－i1＋i－2i＝1－i.∴向量OZ→的模：12＋－12＝2.故选B.10．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论正确的是()A．z对应的点在第一象限B．z一定不为纯虚数C.z－对应的点在实轴的下方D．z一定为实数解析：选C∵t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋10，∴z对应的点在实轴的上方．又∵z与z－对应的点关于实轴对称，∴C项正确．11．已知z1与z2是共轭虚数，有4个命题：①z21|z2|2；②z1z2＝|z1z2|；③z1＋z2∈R；④z1z2∈R.其中一定正确的是()A．①②B．②③C．③④D．①②③解析：选Bz1与z2是共轭虚数，设z1＝a＋bi，z2＝a－bi(a，b∈R，b≠0)．①z21＝a2－b2＋2abi，|z2|2＝a2＋b2，虚数不能比较大小，因此不正确；②z1z2＝|z1z2|＝a2＋b2，正确；③z1＋z2＝2a∈R，正确；④z1z2＝a＋bia－bi＝a＋bi2a－bia＋bi＝a2－b2a2＋b2＋2aba2＋b2i不一定是实数，因此不一定正确．故选B.12．已知虚数z＝x＋yi的模为1(其中x，y均为实数)，则yx＋2的取值范围是()A.0，33B.－33，0∪0，33C.－33，33D.－33，0解析：选B∵|z|＝1，∴x2＋y2＝1.设k＝yx＋2，则k为过圆x2＋y2＝1上的点和点(－2,0)的直线斜率，作图如图所示，∴k≤13＝33.又∵z为虚数，∴y≠0，∴k≠0.又由对称性可得k∈－33，0∪0，33.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．已知集合M＝{1,2，zi}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝________.解析：由M∩N＝{4}，知4∈M，故zi＝4，∴z＝4i＝－4i.答案：－4i14．定义运算abcd＝ad－bc，则满足条件1－1zzi＝4＋2i的复数z为________．解析：1－1zzi＝zi＋z，设z＝x＋yi，∴zi＋z＝xi－y＋x＋yi＝x－y＋(x＋y)i＝4＋2i，∴x－y＝4，x＋y＝2，∴x＝3，y＝－1.∴z＝3－i.答案：3－i15．复数z满足|z＋1|＋|z－1|＝2，则|z＋i＋1|的最小值是________．解析：由|z＋1|＋|z－1|＝2，根据复数减法的几何意义可知，复数z对应的点到两点(－1,0)和(1,0)的距离和为2，说明该点在线段y＝0(x∈[－1,1])上，而|z＋i＋1|为该点到点(－1，－1)的距离，其最小值为1.答案：116．在复平面内，O为坐标原点，向量OA→对应的复数为－2－i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量OB→对应的复数为________．解析：复数－2－i对应点A(－2，－1)，点A关于直线y＝－x的对称点为B(1,2)，∴OB→对应的复数为1＋2i.答案：1＋2i二、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)计算：(1)2＋i1－i21－2i；(2)4＋5i5－4i1－i.解：(1)2＋i1－i21－2i＝2＋i－2i1－2i＝21－2i1－2i＝2.(2)4＋5i5－4i1－i＝5－4ii5－4i1－i＝i1－i＝i1＋i1－i1＋i＝i－12＝－12＋12i.18．(本小题满分12分)已知复数z1＝m－2i，复数z2＝1－ni，其中i是虚数单位，m，n为实数．(1)若m＝1，n＝－1，求|z1＋z2|的值；(2)若z1＝z22，求m，n的值．解：(1)当m＝1，n＝－1时，z1＝1－2i，z2＝1＋i，所以z1＋z2＝(1－2i)＋(1＋i)＝2－i，所以|z1＋z2|＝22＋－12＝5.(2)若z1＝z22，则m－2i＝(1－ni)2，所以m－2i＝(1－n2)－2ni，所以m＝1－n2，－2＝－2n，解得m＝0，n＝1.19．(本小题满分12分)求实数k为何值时，复数(1＋i)·k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零．解：由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.(1)当k2－5k－6＝0时，z∈R，∴k＝6或k＝－1.(2)当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k≠－1.(3)当k2－3k－4＝0，k2－5k－6≠0时，z是纯虚数，∴k＝4.(4)当k2－3k－4＝0，k2－5k－6＝0时，z＝0，解得k＝－1.综上，当k＝6或k＝－1时，z∈R.当k≠6且k≠－1时，z是虚数．当k＝4时，z是纯虚数，当k＝－1时，z＝0.20．(本小题满分12分)已知z＝1＋i2＋31－i2＋i.(1)求|z|；(2)若z2＋az＋b＝1＋i，求实数a，b的值．解：z＝2i＋3－3i2＋i＝3－i2＋i＝3－i2－i5＝5－5i5＝1－i.(1)∵z＝1－i，∴|z|＝2.(2)把z＝1－i代入z2＋az＋b＝1＋i得，(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i，即a＋b－(2＋a)i＝1＋i，∴a＋b＝1，2＋a＝－1，解得a＝－3，b＝4，所以实数a，b的值分别为－3,4.21．(本小题满分12分)已知复数z＝3＋bi(b∈R)，且(1＋3i)z为纯虚数．(1)求复数z；(2)若ω＝z2＋i，求复数ω的模|ω|.解：(1)(1＋3i)(3＋bi)＝(3－3b)＋(9＋b)i，∵(1＋3i)z是纯虚数，∴3－3b＝0且9＋b≠0，则b＝1，从而z＝3＋i.(2)ω＝z2＋i＝3＋i2＋i＝3＋i2－i2＋i2－i＝75－i5，∴|ω|＝752＋－152＝2.22．(本小题满分12分)(1)已知关于x的实系数方程x2＋mx＋n＝0，若1＋2i是方程x2＋mx＋n＝0的一个复数根，求出m，n的值；(2)已知z∈C，z＋3i，z3－i均为实数，且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．解：(1)由题意得(1＋2i)2＋m(1＋2i)＋n＝－1＋m＋n＋22i＋m2i＝0，∴－1＋m＋n＝0，22＋m2＝0，解得m＝－2，n＝3.(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，∵z＋3i＝x＋(y＋3)i为实数，∴y＝－3.∵z3－i＝x－3i3－i＝110(x－3i)(3＋i)＝110[(3x＋3)＋(x－9)i]为实数，∴x＝9，∴z＝9－3i.∵(z＋ai)2＝81－(a－3)2＋18(a－3)i＝72＋6a－a2＋18(a－3)i，∴由已知72＋6a－a2＞0，18a－3＞0，解得3＜a＜12.故实数a的取值范围为(3,12)．