（江苏专用）2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 习题课（三）计数原理 苏教版选修2-3

习题课（三）计数原理1．在(a＋x)7展开式中x4的系数为280，则实数a的值为()A．1B．±1C．2D．±2解析：选C由题知，C47a3＝280，得a＝2.2．教室里有6盏灯，由3个开关控制，每个开关控制2盏灯，则不同的照明方法有()A．63种B．31种C．8种D．7种解析：选D由题意知，可以开2盏、4盏、6盏灯照明，不同方法有C13＋C23＋C33＝7(种)．3．分配4名水暖工去3户不同的居民家里检查暖气管道．要求4名水暖工都分配出去，且每户居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有()A．A34种B．A33A13种C．C24A33种D．C14C13A33种解析：选C先将4名水暖工选出2人分成一组，然后将三组水暖工分配到3户不同的居民家，故有C24A33种．4.x＋ax2x－1x5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为()A．－40B．－20C．20D．40解析：选D令x＝1，依题意得(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1，又∵2x－1x5的展开式通项Tr＋1＝(－1)rCr5·25－r·x5－2r，∴x＋1x2x－1x5展开式中的常数项为C35(－1)3·22＋C25(－1)2·23＝40.5．(x2－2)1＋2x5的展开式中x－1的系数为()A．60B．50C．40D．20解析：选A由通项公式得展开式中x－1的系数为23C35－22C15＝60.6．7人站成两排，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为()A．120B．240C．360D．480解析：选C第一步：从甲、乙、丙3人中任选1人加到前排有3种不同方法．第二步：将第一步选出的1人加到前排，要保持前排4人中原3人顺序不变，则有A44A33种不同方法；第三步：后排6人中，原4人顺序不变有A66A44种不同方法．由分步乘法计数原理知共有不同加入方法3×A44A33·A66A44＝360(种)．7．(2016·全国卷Ⅰ)(2x＋x)5的展开式中，x3的系数是________．(用数字填写答案)解析：(2x＋x)5展开式的通项为Tr＋1＝Cr5(2x)5－r(x)r＝25－r·Cr5·x5－r2.令5－r2＝3，得r＝4.故x3的系数为25－4·C45＝2C45＝10.答案：108．农科院小李在做某项试验中，计划从花生、大白菜、大豆、玉米、小麦、高粱这6种种子中选出4种，分别种植在4块不同的空地上(1块空地只能种1种作物)，若小李已决定在第1块空地上种玉米或高粱，则不同的种植方案有________种．(用数字作答)解析：由已知条件可得第1块地有C12种种植方法，则第2～4块地共有A35种种植方法，由分步乘法计数原理可得，不同的种植方案有C12A35＝120种．答案：1209．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．解析：将A，B捆绑在一起，有A22种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A44种摆法，共有A22A44＝48种摆法，而A，B，C3件在一起，且A，B相邻，A，C相邻有CAB，BAC两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有2×A33＝12种摆法，故A，B相邻，A，C不相邻的摆法有48－12＝36种．答案：3610．为了鼓舞足球队员的士气，足协想派五名官员给A，B，C，D四支球队做动员工作，每支球队至少派一名官员，且甲、乙两名官员不能去同一支球队，共有多少种不同的安排方法？解：可根据甲、乙两人所去球队的情况进行分类：①甲、乙两人都单独去一支球队，剩余三人中必有两人去同一支球队，先从三人中选出两人组成一组，与其他三人进行全排列，则不同的安排方法有C23A44＝3×24＝72(种)．②甲、乙两人去的球队中有一个是两个人，从剩余三人中选出一人与甲或乙组成一组，和其他三人进行全排列，则不同的安排方法有C12C13A44＝2×3×24＝144(种)．故不同的安排方法共有72＋144＝216(种)．11．已知(3x2＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数的最大项；(2)求展开式中系数最大的项．解：(1)令x＝1，则二项式各项系数和为(1＋3)n＝4n，展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意，知4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0.∴(2n＋31)(2n－32)＝0.∴2n＝－31(舍)或2n＝32，∴n＝5.由于n＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是T3＝C25(x23)3(3x2)2＝90x6，T4＝C35(x23)2(3x2)3＝270x223.(2)展开式通项公式为Tr＋1＝Cr53r·(x23)5－r(x2)r＝Cr5·3r·x103＋4r3.假设Tr＋1项系数最大，则有Cr53r≥Cr－15·3r－1，Cr53r≥Cr＋15·3r＋1，∴5！5－r！r！×3≥5！6－r！r－1！，5！5－r！r！≥5！4－r！r＋1！×3.∴3r≥16－r，15－r≥3r＋1.∴72≤r≤92.∵r∈N*，∴r＝4.∴展开式中系数最大项为T5＝C45·34·x103＋4×43＝405x263.