（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测（五十五）几何概型 文（含解析）苏教版

课时跟踪检测（五十五）几何概型一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·连云港调研)欧阳修在《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱的形状是直径为3cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是________．解析：根据几何概型知，P＝1×1π×322＝49π.答案：49π2.(2018·无锡中学检测)如图，矩形的长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为600颗，则可以估计阴影部分的面积约为________．解析：可估计阴影部分的面积约为6001000×12×5＝36.答案：363．(2019·镇江调研)有一个底面半径为1，高为3的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心．在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为________．解析：因为点P到点O1，O2的距离小于等于1的点的集合为以点O1，O2为球心，1为半径的两个半球，求得体积V′＝2×12×43π×13＝43π，圆柱的体积V＝Sh＝3π，所以点P到点O1，O2的距离都大于1的概率P＝1－4π33π＝59.答案：594．已知函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，若从区间[－5,5]内随机抽取一个实数x0，则所取的x0满足f(x0)≤0的概率为________．解析：令x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2，由几何概型的概率计算公式得P＝2－－5－－＝310.答案：3105．(2018·苏锡常镇一模)已知Ω1是集合{(x，y)|x2＋y2≤1}所表示的区域，Ω2是集合{(x，y)|y≤|x|}所表示的区域，向区域Ω1内随机的投一个点，则该点落在区域Ω2内的概率为________．解析：作出区域Ω1(圆面)、Ω2(阴影部分)的示意图如图所示，根据几何概型的概率计算公式得，该点落在区域Ω2内的概率为34.答案：346.如图所示，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．解析：设扇形的半径为2，则其面积为π×224＝π，记由两段小圆弧围成的阴影面积为S1，另外三段圆弧围成的阴影面积为S2，则S1＝2×π4－12＝π2－1，S2＝π4×22－2×π2×12＋π2－1＝π2－1，故阴影部分总面积为2×π2－1＝π－2，因此任取一点，此点取自阴影部分的概率为π－2π＝1－2π.答案：1－2π二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·苏州中学高三期末)已知实数a∈[－2,5]，则a∈{x∈R|x2－2x－3≤0}的概率为________．解析：由x2－2x－3≤0，解得－1≤x≤3，故所求概率P＝3－－5－－＝47.答案：472．(2019·启东中学检测)已知正方形ABCD的边长为2，点H是边DA的中点．在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足PH＜2的概率为________．解析：如图，满足PH＜2的点在△AEH，扇形EHF及△DFH围成的区域内，由几何概型得所求概率为1422＋12×2＝π8＋14.答案：π8＋143．在[－4,4]上随机取一个实数m，能使函数f(x)＝x3＋mx2＋3x在R上单调递增的概率为________．解析：由题意，得f′(x)＝3x2＋2mx＋3，要使函数f(x)在R上单调递增，则3x2＋2mx＋3≥0在R上恒成立，即Δ＝4m2－36≤0，解得－3≤m≤3，所以所求概率为3－－4－－＝34.答案：344．(2018·连云港期末)已知m∈[3,4]，n∈[2.5,3.5]，则关于x的方程x2＋mx＋n4＝0有解的概率为________．解析：m∈[3,4]，n∈[2.5,3.5]，∵关于x的方程x2＋mx＋n4＝0有解，∴Δ＝m－4×n4＝m－n≥0，∴3≤m≤4，2.5≤n≤3.5，m－n≥0，画出图形如图所示，则阴影部分的面积为1－12×12×12＝78，∴所求的概率P＝781×1＝78.答案：785．在区间－π6，π2上随机取一个数x，则sinx＋cosx∈[1，2]的概率是________．解析：因为x∈－π6，π2，所以x＋π4∈π12，3π4，由sinx＋cosx＝2sinx＋π4∈[1，2]，得22≤sinx＋π4≤1，所以x∈0，π2，故要求的概率为π2－0π2－－π6＝34.答案：346．已知集合A＝{}y|y＝x2＋2x，－2≤x≤2，B＝{x|x2＋2x－3≤0}，在集合A中任意取一个元素a，则a∈B的概率是________．解析：A＝{y|y＝x2＋2x，－2≤x≤2}＝{y|－1≤y≤8}．B＝{}x|x2＋2x－3≤0＝{}x|－3≤x≤1.则所求的概率为1－－8－－＝49.答案：497．(2018·无锡调研)设a∈[0,10]，则函数g(x)＝a－2x在区间(0，＋∞)上为增函数的概率为________．解析：因为函数g(x)＝a－2x在区间(0，＋∞)上为增函数，所以a－2＜0，解得a＜2，所以函数g(x)＝a－2x在区间(0，＋∞)上为增函数的概率P＝210＝15.答案：158．如图，正四棱锥S­ABCD的顶点都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为________．解析：设球的半径为R，则所求的概率为P＝V锥V球＝13×12×2R×2R·R43πR3＝12π.答案：12π9．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M.(1)求四棱锥M­ABCD的体积小于16的概率；(2)求M落在三棱柱ABC­A1B1C1内的概率．解：(1)正方体ABCD­A1B1C1D1中，设M­ABCD的高为h，令13×S四边形ABCD×h＝16，因为S四边形ABCD＝1，所以h＝12.若体积小于16，则h＜12，即点M在正方体的下半部分，所以P＝12V正方体V正方体＝12.(2)因为V三棱柱＝12×12×1＝12，所以所求概率P1＝V三棱柱V正方体＝12.10．(2018·启东中学模拟)甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客，两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计)即为中奖．乙商场：从装有3个白球和3个红球的不透明盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？解：如果顾客去甲商场，事件的全部结果构成的区域为圆盘，面积为πR2(R为圆盘的半径)，阴影区域的面积为4×15πR2360＝πR26.所以在甲商场中奖的概率P1＝πR26πR2＝16.如果顾客去乙商场，记盒子中3个白球为a1，a2，a3,3个红球为b1，b2，b3，记(x，y)为一次摸球的结果，则一切可能的结果有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共15种，摸到的2个球都是红球的结果有(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共3种，所以在乙商场中奖的概率P2＝315＝15.因为P1＜P2，所以顾客在乙商场中奖的可能性大．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·苏州考前模拟)在区间[－1,1]上随机取一个数x，cosπx2的值介于0到12之间的概率为________．解析：在区间[－1,1]上随机取一个数x，即x∈[－1,1]时，要使cosπx2的值介于0到12之间，需使－π2≤πx2≤－π3或π3≤πx2≤π2，所以－1≤x≤－23或23≤x≤1，区间长度为23，由几何概型知，cosπx2的值介于0到12之间的概率为232＝13.答案：132．(2018·启东中学检测)∀α∈R，n∈[0,2]，向量c＝(2n＋3cosα，n－3sinα)的长度不超过6的概率为________．解析：|c|＝n＋3cosα2＋n－3sinα2＝4n2＋12ncosα＋9cos2α＋n2－6nsinα＋9sin2α＝9＋5n2＋12ncosα－6nsinα≤6，化简得5n2＋6n(2cosα－sinα)≤27，即5n2＋65n·25cosα－15sinα≤27，即5n2＋65ncos(α＋φ)≤27，其中tanφ＝1525＝12，当n＞0时，变形得cos(α＋φ)≤27－5n265n，由于27－5n265n＞0，令27－5n265n≥1，即5n2＋65n－27≤0，解得0≤n≤355，此时向量c的长度不超过6，又n∈[0,2]，由几何概型的概率公式得向量c的长度不超过6的概率为3552＝3510.答案：35103．已知关于x的二次函数f(x)＝b2x2－(a＋1)x＋1.(1)若a，b分别表示将一质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求y＝f(x)恰有一个零点的概率．(2)若a，b∈[1,6]，求满足y＝f(x)有零点的概率．解：(1)设(a，b)表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6,6)，共36个．用A表示事件“y＝f(x)恰有一个零点”，即Δ＝[－(a＋1)]2－4b2＝0，则a＋1＝2b.则A包含的基本事件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3个，所以P(A)＝336＝112.即事件“y＝f(x)恰有一个零点”的概率为112.(2)用B表示事件“y＝f(x)有零点”，即a＋1≥2b.试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|1≤a≤6,1≤b≤6}，构成事件B的区域为{(a，b)|1≤a≤6,1≤b≤6，a－2b＋1≥0}，如图所示：所以所求的概率为P(B)＝12×5×525×5＝14.即事件“y＝f(x)有零点”的概率为14.