（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测（五十四）合情推理与演绎推理 理（含解析）苏教版

课时跟踪检测（五十四）合情推理与演绎推理一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·徐州调研)已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，经计算得f(4)＞2，f(8)＞52，f(16)＞3，f(32)＞72，则对于任意n(n∈N*)有不等式________成立．解析：观察已知中的等式：f(2)＝32，f(4)＞2，f(8)＞52，f(16)＞3，f(32)＞72，…，则f(2n)≥n＋22.答案：f(2n)≥n＋222．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论我们可以得到的一个真命题为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则____________________成等比数列．解析：利用类比推理把等差数列中的差换成商即可．答案：T4，T8T4，T12T8，T16T123．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“acbc＝ab”类比得到“a·cb·c＝ab”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是________．解析：①②正确，③④⑤⑥错误．答案：24．(2018·扬州期末)点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式为d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(1,1,2)到平面x＋y＋2z＋3＝0的距离为________．解析：在空间中，点(1,1,2)到平面x＋y＋2z＋3＝0的距离d＝|1＋1＋4＋3|1＋1＋4＝362.答案：3625．(2019·南京调研)已知函数f(x)＝x3＋x，对于等差数列{an}满足：f(a2－1)＝2，f(a2016－3)＝－2，Sn是其前n项和，则S2017＝________.解析：因为函数f(x)＝x3＋x为奇函数，且在R上单调递增，又因为f(a2－1)＝2，f(a2016－3)＝－2，则a2－1＝－(a2016－3)，即a2＋a2016＝4，即a1＋a2017＝4.则S2017＝20172(a1＋a2017)＝4034.答案：40346．(2018·启东检测)[x]表示不超过x的最大整数，例如：[π]＝3.S1＝[1]＋[2]＋[3]＝3，S2＝[4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝10，S3＝[9]＋[10]＋[11]＋[12]＋[13]＋[14]＋[15]＝21，……依此规律，那么S10＝________.解析：因为[x]表示不超过x的最大整数，所以S1＝[1]＋[2]＋[3]＝1×3＝3，S2＝[4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝2×5＝10，S3＝[9]＋[10]＋[11]＋[12]＋[13]＋[14]＋[15]＝3×7＝21，……，Sn＝[n2]＋[n2＋1]＋[n2＋2]＋…＋[n2＋2n－1]＋[n2＋2n]＝n×(2n＋1)，所以S10＝10×21＝210.答案：210二保高考，全练题型做到高考达标1．已知正三角形ABC，它的高为h，内切圆的半径为r，则rh＝13，类比这一结论可知：正四面体S­ABC的高为H，内切球的半径为R，则RH＝________.解析：从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，可得如下结论：正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的14.证明如下：球心到正四面体一个面的距离即球的半径R，连结球心与正四面体的四个顶点，把正四面体分成四个高为R的三棱锥，设正四面体一个面的面积为S，所以4·13S·R＝13·S·H，解得R＝14H，所以RH＝14.答案：142．观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n个等式可为________________．解析：观察规律可知，第n个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1nn＋2.答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1nn＋23．(2018·南京第十三中学检测)某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为________．解析：因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.答案：554．(2019·南京模拟)观察下列式子：1×2＜2，1×2＋2×3＜92，1×2＋2×3＋3×4＜8，1×2＋2×3＋3×4＋4×5＜252，……，根据以上规律，第n(n∈N*)个不等式是____________________．解析：根据所给不等式可得第n个不等式是1×2＋2×3＋…＋nn＋＜n＋22.答案：1×2＋2×3＋…＋nn＋＜n＋225．在平面几何中：△ABC的∠C内角平分线CE分AB所成线段的比为ACBC＝AEBE.把这个结论类比到空间：在三棱锥A­BCD中(如图)，平面DEC平分二面角A­CD­B且与AB相交于E，则得到类比的结论是______________．解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AEEB＝S△ACDS△BCD.答案：AEEB＝S△ACDS△BCD6．(2018·常州调研)已知数组11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，记该数组为(a1)，(a2，a3)，(a4，a5，a6)，…，则a2019＝________.解析：设a2019是第M组数中的第N个数，则1＋2＋3＋…＋M－＜2019，1＋2＋3＋…＋M≥2019，解得M＝64，且1＋2＋3＋…＋63＝2016，∵2019－2016＝3，∴a2019＝362.答案：3627．(2018·沭阳月考)将正奇数按如下规律填在5列的数表中：则2019排在该表的第________行，第________列．(行是从上往下数，列是从左往右数).135715131191719212331292725……………解析：∵2019＝252×8＋3＝253×8－5，∴2019在第253行，∵第三列数：3,11,19,27，…，规律为8n－5，∴2019应该出现在第3列．答案：25338．如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有fx1＋fx2＋…＋fxnn≤fx1＋x2＋…＋xnn.若y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．解析：由题意知，凸函数满足fx1＋fx2＋…＋fxnn≤fx1＋x2＋…＋xnn，又y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，则sinA＋sinB＋sinC≤3sinA＋B＋C3＝3sinπ3＝332.答案：3329．(2018·苏州调研)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝x2－x－m.(1)当m＝0时，求函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，a]的最大值；(2)证明：当m≥－3时，不等式f(x)＋g(x)＜x2－(x－2)ex对任意x∈12，1均成立(其中e为自然对数的底数，e＝2.718…)．解：(1)当m＝0时，F(x)＝lnx－x2＋x，x∈(0，＋∞)，则F′(x)＝－x＋x－x，x∈(0，＋∞)，当0＜x＜1时，F′(x)＞0；当x＞1时，F′(x)＜0，所以F(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以当0＜a≤1时，F(x)的最大值为F(a)＝lna－a2＋a；当a＞1时，F(x)的最大值为F(1)＝0.(2)证明：f(x)＋g(x)＜x2－(x－2)ex可化为m＞(x－2)ex＋lnx－x，设h(x)＝(x－2)ex＋lnx－x，x∈12，1，要证m≥－3时，m＞h(x)对任意x∈12，1均成立，只要证h(x)max＜－3即可，下证此结论成立．因为h′(x)＝(x－1)ex－1x，所以当12＜x＜1时，x－1＜0，设u(x)＝ex－1x，则u′(x)＝ex＋1x2＞0，所以u(x)在12，1上单调递增，又因为u(x)在区间12，1上的图象是一条不间断的曲线，且u12＝e－2＜0，u(1)＝e－1＞0，所以∃x0∈12，1，使得u(x0)＝0，即e0x＝1x0，lnx0＝－x0，当x∈12，x0时，u(x)＜0，h′(x)＞0；当x∈(x0,1)时，u(x)＞0，h′(x)＜0；所以函数h(x)在12，x0上单调递增，在(x0,1]上单调递减，所以h(x)max＝h(x0)＝(x0－2)e0x＋lnx0－x0＝(x0－2)·1x0－2x0＝1－2x0－2x0.因为y＝1－2x－2x在x∈12，1上单调递增，所以h(x0)＝1－2x0－2x0＜1－2－2＝－3，即h(x)max＜－3，所以当m≥－3时，不等式f(x)＋g(x)＜x2－(x－2)ex对任意x∈12，1均成立.10．已知O是△ABC内任意一点，连结AO，BO，CO并延长，分别交对边于A′，B′，C′，则OA′AA′＋OB′BB′＋OC′CC′＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”：OA′AA′＋OB′BB′＋OC′CC′＝S△OBCS△ABC＋S△OCAS△ABC＋S△OABS△ABC＝S△ABCS△ABC＝1.请运用类比思想，对于空间中的四面体ABCD，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明．解：在四面体ABCD中，任取一点O，连结AO，DO，BO，CO并延长，分别交四个面于E，F，G，H点．则OEAE＋OFDF＋OGBG＋OHCH＝1.证明：在四面体OBCD与ABCD中，OEAE＝h1h＝13S△BCD·h113S△BCD·h＝VOBCDVABCD.同理有OFDF＝VOABCVDABC；OGBG＝VOACDVBACD；OHCH＝VOABDVCABD.所以OEAE＋OFDF＋OGBG＋OHCH＝VOBCD＋VOABC＋VOACD＋VOABDVABCD＝VABCDVABCD＝1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为________．解析：由|x|＋|y|＝1的不同整数解的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x|＋|y|＝n的不同整数解的个数为4n，故|x|＋|y|＝20的不同整数解的个数为80.答案：802．古希腊的数学家研究过各种多边形数．记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)＝12n2＋12n四边形数N(n,4)＝n2五边形数N(n,5)＝32n2－12n六边形数N(n,6)＝2n2－n……可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(20,15)的值为________．解析：原已知式子可化为N(n,3)＝12n2＋12n＝3－22n2＋4－32n；N(n,4)＝n2＝4－22n2＋4－42n；N(n,5)＝32n2－12n＝5－22n2＋4－52n；N(n,6)＝2n2－n＝6－22n2＋4－62n.故N(n，k)＝k－22n2＋4－k2n，N(20,15)＝15－22×202＋4－152×20＝2490.答案：24903.(2018·东台中学检测)如图，已知双曲线x24－y29＝1，F1，