（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测（四十七）椭圆 理（含解析）苏教版

课时跟踪检测（四十七）椭圆一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且PF1，F1F2，PF2成等差数列，则椭圆的方程为______________．解析：∵椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，∴设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，∵P(2，3)是椭圆上一点，且PF1，F1F2，PF2成等差数列，∴4a2＋3b2＝1，2a＝4c，且a2＝b2＋c2，解得a＝22，b＝6，∴椭圆的方程为x28＋y26＝1.答案：x28＋y26＝12．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为12，则该椭圆方程为________________．解析：设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，因为2a＝12，ca＝12，所以a＝6，c＝3，b2＝27.所以椭圆的方程为x236＋y227＝1.答案：x236＋y227＝13．椭圆x22＋y2＝1的左、右两焦点分别为F1，F2，椭圆上一点P满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．解析：由题意，椭圆x22＋y2＝1的左、右两焦点分别为F1，F2，则PF1＋PF2＝22，F1F2＝2.由余弦定理，得F1F22＝PF21＋PF22－2PF1·PF2·cos60°＝(PF1＋PF2)2－3PF1·PF2，解得PF1·PF2＝43.故△F1PF2的面积S＝12PF1·PF2·sin60°＝33.答案：334．(2019·南京名校联考)若n是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋y2n＝1的离心率是________．解析：由n2＝2×8，得n＝±4，当n＝4时，曲线为椭圆，其离心率为e＝4－12＝32；当n＝－4时，曲线为双曲线，其离心率为e＝4＋11＝5.答案：32或55．(2018·北京东城模拟)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶3，则椭圆C的方程是____________________．解析：设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．由题意知a2＝b2＋c2，a∶b＝2∶3，c＝2，解得a2＝16，b2＝12.所以椭圆C的方程为x216＋y212＝1.答案：x216＋y212＝16．(2018·启东中学检测)分别过椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左右焦点F1，F2所作的两条互相垂直的直线l1，l2的交点在椭圆上，则此椭圆的离心率的取值范围是________．解析：设两直线交点为M，令MF1＝m，MF2＝n.由椭圆的定义可得m＋n＝2a，因为MF1⊥MF2，所以m2＋n2＝4c2，因为(m＋n)2＝m2＋n2＋2mn≤2(n2＋m2)，当且仅当m＝n＝a时取等号，即4a2≤2(4c2)，所以a≤2c，所以ca≥22，即e≥22，因为e＜1，所以22≤e＜1.答案：22，1二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·启东模拟)设点P在圆x2＋(y－2)2＝1上移动，点Q在椭圆x29＋y2＝1上移动，则PQ的最大值是________．解析：已知圆心C(0,2)，PQ≤PC＋CQ＝1＋CQ，故只需求CQ的最大值即可．设Q(x，y)，则CQ＝x2＋y－2＝－y2＋y－2＝－8y2－4y＋13＝－8y＋142＋272.∵－1≤y≤1，∴当y＝－14时，CQmax＝272＝362，∴PQmax＝1＋362.答案：1＋3622．(2019·常州模拟)若椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，则C的离心率为________．解析：不妨设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，则2a＝2b×3，即a＝3b.所以a2＝9b2＝9(a2－c2)．即c2a2＝89，所以e＝ca＝223.答案：2233．(2018·镇江期末)已知椭圆x2m＋y2n＝1(m＞n＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则PF1―→·PF2―→＝________.解析：法一：PF1―→·PF2―→＝(PO―→＋OF1―→)·(PO―→＋OF2―→)＝(PO―→＋OF1―→)·(PO―→－OF1―→)＝|PO―→|2－|OF1―→|2＝n－(m－n)＝2n－m.法二：设F1(－c,0)，F2(c,0)，P(x，y)，则x2＋y2＝n，PF1―→·PF2―→＝(x＋c)(x－c)＋y2＝x2＋y2－c2＝n－(m－n)＝2n－m.答案：2n－m4．(2018·苏北四市一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B1，B2分别为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点．若B2F⊥AB1，则椭圆C的离心率是________．解析：因为F(c,0)，B2(0，b)，B1(0，－b)，A(a,0)，所以B2F―→＝(c，－b)，B1A―→＝(a，b)．因为B2F⊥AB1，所以ac－b2＝0，即c2＋ac－a2＝0，故e2＋e－1＝0，解得e＝－1＋52(负值舍去)．答案：5－125．如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－25，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足OP＝OF，且PF＝4，则椭圆C的方程为________．解析：设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，焦距为2c，右焦点为F′，连结PF′，如图所示．因为F(－25，0)为C的左焦点，所以c＝25.由OP＝OF＝OF′知，∠FPF′＝90°，即FP⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得PF′＝FF′2－PF2＝52－42＝8.由椭圆定义，得PF＋PF′＝2a＝4＋8＝12，所以a＝6，a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(25)2＝16，所以椭圆C的方程为x236＋y216＝1.答案：x236＋y216＝16.(2019·启东月考)如图所示，A，B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且OF＝2，若MF⊥OA，则椭圆的方程为________．解析：∵F为椭圆的右焦点，OF＝2，∴c＝2.设椭圆方程为x2b2＋2＋y2b2＝1(b＞0)，∵A，B是椭圆的两个顶点，∴A()b2＋2，0，B(0，b)．又∵C是AB的中点，∴Cb2＋22，b2.由OC的延长线交椭圆于点M，MF⊥OA，得M2，b2b2＋2.∵kOM＝kOC，∴b2b2＋22＝b2b2＋22，∴b＝2，故所求椭圆的方程为x24＋y22＝1.答案：x24＋y22＝17．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．解析：设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，因为AB过F1且A，B在椭圆C上，所以△ABF2的周长＝AB＋AF2＋BF2＝AF1＋AF2＋BF1＋BF2＝4a＝16，所以a＝4.又离心率e＝ca＝22，所以c＝22，所以b2＝a2－c2＝8，所以椭圆C的方程为x216＋y28＝1.答案：x216＋y28＝18．(2019·句容月考)离心率e＝13，焦距为4的椭圆的标准方程为________________．解析：∵椭圆的离心率e＝13，焦距为4，∴c＝2，a＝6，∴b2＝32，∴椭圆的标准方程为x236＋y232＝1或y236＋x232＝1.答案：x236＋y232＝1或y236＋x232＝19．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率．(2)若AF2―→＝2F2B―→，AF1―→·AB―→＝32，求椭圆的方程．解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c.所以a＝2c，e＝ca＝22.(2)由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝a2－b2，设B(x，y)．由AF2―→＝2F2B―→，得(c，－b)＝2(x－c，y)，解得x＝3c2，y＝－b2，即B3c2，－b2.将B点坐标代入x2a2＋y2b2＝1，得94c2a2＋b24b2＝1，即9c24a2＋14＝1，解得a2＝3c2.①又由AF1―→·AB―→＝(－c，－b)·3c2，－3b2＝32，得b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.②由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.所以椭圆的方程为x23＋y22＝1.10．(2018·南京学情调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点(在x轴上方)，连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设PF1―→＝λF1Q―→.(1)若点P的坐标为1，32，且△PQF2的周长为8，求椭圆C的方程；(2)若PF2⊥x轴，且椭圆C的离心率e∈12，22，求实数λ的取值范围．解：(1)因为F1，F2为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点，所以PF1＋PF2＝QF1＋QF2＝2a，从而△PQF2的周长为4a，由题意得4a＝8，解得a＝2.因为点P的坐标为1，32，且在椭圆上，所以14＋94b2＝1，解得b2＝3.所以椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(2)因为PF2⊥x轴，且P在x轴上方，所以可设P(c，y0)，且y0＞0，Q(x1，y1)．因为点P在椭圆上，所以c2a2＋y20b2＝1，解得y0＝b2a，即Pc，b2a.因为F1(－c,0)，所以PF1―→＝－2c，－b2a，F1Q―→＝(x1＋c，y1)．由PF1―→＝λF1Q―→，得－2c＝λ(x1＋c)，－b2a＝λy1，解得x1＝－λ＋2λc，y1＝－b2λa，所以Q－λ＋2λc，－b2λa.因为点Q在椭圆上，所以λ＋2λ2e2＋b2λ2a2＝1，即(λ＋2)2e2＋(1－e2)＝λ2，即(λ2＋4λ＋3)e2＝λ2－1.因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e2＝λ－1，从而λ＝3e2＋11－e2＝41－e2－3.因为e∈12，22，所以14≤e2≤12，即73≤λ≤5.所以λ的取值范围为73，5.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·宿迁调研)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，下顶点为A.若平行于AF且在y轴上截距为3－2的直线与圆x2＋(y－3)2＝1相切，则该椭圆的离心率为________．解析：由椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，下顶点为A，可得AF的斜率为－bc，则平行于AF且在y轴上截距为3－2的直线方程为y＝－bcx＋3－2.由该直线与圆x2＋(y－3)2＝1相切，可得|－3＋3－2|1＋b2c2＝1，解得b＝c，所以e＝ca＝12＝22.答案：222．(2018·连云港质检)已知两定点A(－2,0)和B(2,0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为________．解析：设点A关于直线l的对称点为A1(x1，y1)，则有y1x1＋2＝－1，y12＝x1－22＋3，解得x1＝－3，y1＝1，易知PA＋PB的最小值等于A1B＝26，因此椭圆C的离心率e＝ABPA＋PB＝4PA＋PB的最大值为22613.答案：226133.已知椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点F的坐标为(1,0)，P，Q为椭圆上位于y轴右侧的两个动点，使PF⊥QF，C为PQ中点，线段PQ的垂直平分线交x轴，y轴于点A，B(线段PQ不垂直x轴)，当Q运动到椭圆的右顶点时，PF＝22.(1)求椭圆M的方程；(2)若S△ABO∶S△BCF＝3∶5，求直线PQ的方程．解：(1)当Q运动到椭圆的右顶点时，PF⊥x轴，所以PF