（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测（四十九）抛物线 理（含解析）苏教版

课时跟踪检测（四十九）抛物线一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2＝2px(p＞0)上横坐标为2的点到焦点的距离为4，则该抛物线的准线方程为________．解析：抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为p2，0，准线方程x＝－p2，由抛物线的定义可知，2＋p2＝4，则p＝4，∴抛物线的准线方程为x＝－2.答案：x＝－22．(2018·扬州期末)若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点也是双曲线x2－y2＝8的一个焦点，则p＝________.解析：抛物线y2＝2px的焦点为p2，0，双曲线x2－y2＝8的右焦点为(4,0)，故p2＝4，即p＝8.答案：83．已知P为抛物线y2＝8x上动点，定点A(3,1)，F为该抛物线的焦点，则PF＋PA的最小值为________．解析：易知点A在抛物线内部，抛物线的准线方程为x＝－2，过点P作准线的垂线，垂足为M，则PF＋PA＝PM＋PA，当A，P，M三点共线时取得最小值，所以PF＋PA＝3－(－2)＝5.答案：54．(2018·前黄中学检测)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为________．解析：由于抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－p2，由题意得－p2＝－1，p＝2，所以焦点坐标为()1，0.答案：()1，05．已知点P在抛物线y2＝4x上，且点P到y轴的距离与其到焦点的距离之比为12，则点P到x轴的距离为________．解析：设点P的坐标为(xP，yP)，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，根据抛物线的定义，点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，故xPxP－－＝12，解得xP＝1，所以y2P＝4，所以|yP|＝2.答案：26．(2019·连云港模拟)设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(3，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，BF＝2，则S△BCFS△ACF＝________.解析：∵抛物线方程为y2＝2x，∴焦点F的坐标为12，0，准线方程为x＝－12.如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E，N，则BF＝BN＝x2＋12＝2，∴x2＝32，把x2＝32代入抛物线y2＝2x，得y2＝－3，∴直线AB过点M(3，0)与B32，－3.则直线AB的方程为3x＋32－3y－3＝0，与抛物线方程联立，解得x1＝2，∴AE＝2＋12＝52.∵在△AEC中，BN∥AE，∴BCAC＝BNAE＝252＝45，故S△BCFS△ACF＝12BC·h12AC·h＝45.答案：45二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·宿迁一模)抛物线x2＝4y的焦点坐标为________．解析：∵抛物线x2＝4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p＝4，∴p2＝1.∴抛物线x2＝4y的焦点坐标为(0,1)．答案：(0,1)2．过抛物线x2＝－12y的焦点F作直线垂直于y轴，交抛物线于A，B两点，O为抛物线的顶点，则△OAB的面积是________．解析：由题意F(0，－3)，将y＝－3代入抛物线方程得x＝±6，所以AB＝12，所以S△OAB＝12×12×3＝18.答案：183．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则AFBF＝________.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知AB所在的直线方程为y＝3x－p2，联立y2＝2px，y＝3x－p2得x2－5p3x＋p24＝0，解得x1＝3p2，x2＝p6，所以AFBF＝32p＋p2p2＋p6＝3.答案：34．(2019·南通调研)已知F是抛物线C：y2＝12x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则FN的长度为________．解析：∵F(3,0)，∴由题意可得M的横坐标为32，∴FM＝32＋3＝92，FN＝2FM＝9.答案：95．已知抛物线y2＝2x的弦AB的中点的横坐标为32，则AB的最大值为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3，由抛物线的定义可知，AF＋BF＝x1＋x2＋1＝4，由图可知AF＋BF≥AB，AB≤4，当且仅当直线AB过焦点F时，AB取得最大值4.答案：46．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y2＝2x上的正三角形的面积为________．解析：如图，根据抛物线的对称性得∠AOx＝30°.直线OA的方程y＝33x，代入y2＝2x，得x2－6x＝0，解得x＝0或x＝6.即得A的坐标为(6,23)．∴AB＝43，正三角形OAB的面积为12×43×6＝123.答案：1237．(2018·无锡调研)过点P(－2,0)的直线与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且PA＝12AB，则点A到抛物线C的焦点的距离为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过点A，B作直线x＝－2的垂线，垂足分别为D，E(图略)，因为PA＝12AB，所以x1＋＝x2＋2，3y1＝y2，又y21＝4x1，y22＝4x2，得x1＝23，则点A到抛物线C的焦点的距离为1＋23＝53.答案：538．抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且MF＝4OF，△MFO的面积为43，则抛物线的方程为________．解析：设M(x，y)，因为OF＝p2，MF＝4OF，所以MF＝2p，由抛物线定义知x＋p2＝2p，所以x＝32p，所以y＝±3p.又△MFO的面积为43，所以12×p2×3p＝43，解得p＝4(p＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y2＝8x.答案：y2＝8x9．已知抛物线y2＝2x的焦点为F，点P是抛物线上的动点，点A(3,2)，求PA＋PF的最小值，并求取最小值时点P的坐标．解：将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±6.因为6＞2，所以A在抛物线内部．设抛物线上的点P到准线l：x＝－12的距离为d，由定义知PA＋PF＝PA＋d.当PA⊥l时，PA＋d最小，最小值为72，即PA＋PF的最小值为72，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，所以点P的坐标为(2,2)．10．(2018·扬州中学检测)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点．(1)如果直线l过抛物线的焦点，求OA―→·OB―→的值；(2)如果OA―→·OB―→＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l：x＝ty＋1，代入抛物线y2＝4x，消去x，得y2－4ty－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，所以OA―→·OB―→＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.(2)证明：设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，消去x，得y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，所以OA―→·OB―→＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.令b2－4b＝－4，得b2－4b＋4＝0，解得b＝2.所以直线l过定点(2,0)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·连云港二模)从抛物线x2＝4y上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且PM＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积S＝________.解析：设P(x0，y0)，依题意可知抛物线的准线方程为y＝－1，∴y0＝5－1＝4，∴|x0|＝4×4＝4，∴△MPF的面积S＝12PM·|x0|＝12×5×4＝10.答案：102．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A，B，C，D四点，且AB⊥CD，则FA―→·FB―→＋FC―→·FD―→的最大值等于________．解析：依题意可得，FA―→·FB―→＝－(|FA―→|·|FB―→|)．又因为|FA―→|＝yA＋1，|FB―→|＝yB＋1，所以FA―→·FB―→＝－(yAyB＋yA＋yB＋1)．设直线AB的方程为y＝kx＋1(k≠0)，联立x2＝4y，可得x2－4kx－4＝0，所以xA＋xB＝4k，xAxB＝－4.所以yAyB＝1，yA＋yB＝4k2＋2.所以FA―→·FB―→＝－(4k2＋4)．同理FC―→·FD―→＝－4k2＋4.所以FA―→·FB―→＋FC―→·FD―→＝－4k2＋4k2＋8≤－16.当且仅当k＝±1时等号成立．答案：－163.如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)．因为点P(1,2)在抛物线上，所以22＝2p×1，解得p＝2.故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.则kPA＝y1－2x1－1(x1≠1)，kPB＝y2－2x2－1(x2≠1)，因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA＝－kPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y21＝4x1，①y22＝4x2，②所以y1－214y21－1＝－y2－214y22－1，所以y1＋2＝－(y2＋2)．所以y1＋y2＝－4.由①－②得，y21－y22＝4(x1－x2)，所以kAB＝y1－y2x1－x2＝4y1＋y2＝－1(x1≠x2)．