（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测（四十八）双曲线 理（含解析）苏教版

课时跟踪检测（四十八）双曲线一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·滨湖月考)已知双曲线的渐近线方程为y＝±23x，实轴长为12，则该双曲线的标准方程为_______________．解析：∵双曲线的渐近线方程为y＝±23x，实轴长为12，∴当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1，a＞0，b＞0，此时ba＝23，2a＝12，解得a＝6，b＝4，∴双曲线方程为x236－y216＝1.当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1，a＞0，b＞0，此时ab＝23，2a＝12，解得a＝6，b＝9，∴双曲线方程为y236－x281＝1.答案：x236－y216＝1或y236－x281＝12．已知双曲线x2＋my2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值是________．解析：依题意得m＜0，双曲线方程是x2－y2－1m＝1，于是有－1m＝2×1，m＝－14.答案：－143．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为________．解析：由条件e＝3，即ca＝3，得c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2＝3，所以ba＝2，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x.答案：y＝±2x4．(2018·苏州高三暑假测试)双曲线x2m－y2＝1(m＞0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则m＝________.解析：因为双曲线的右焦点为(m＋1，0)，抛物线的焦点为(2,0)，所以m＋1＝2，解得m＝3.答案：35．(2019·常州一中检测)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2m2－y2＝1(m＞0)的一条渐近线方程为x－3y＝0，则实数m的值为________．解析：∵双曲线x2m2－y2＝1(m＞0)的渐近线方程为x±my＝0，已知其中一条渐近线方程为x－3y＝0，∴m＝3.答案：36．(2018·苏北四市摸底)已知双曲线x2－y2m2＝1(m＞0)的一条渐近线方程为x＋3y＝0，则实数m＝________.解析：双曲线x2－y2m2＝1(m＞0)的渐近线为y＝±mx，又因为该双曲线的一条渐近线方程为x＋3y＝0，所以m＝33.答案：33二保高考，全练题型做到高考达标1．双曲线x2a2－y2b2＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为________．解析：由渐近线互相垂直可知－ba·ba＝－1，即a2＝b2，即c2＝2a2，即c＝2a，所以e＝2.答案：22．(2018·常州期末)双曲线x24－y212＝1的右焦点与左准线之间的距离是________．解析：因为a2＝4，b2＝12，所以c2＝16，即右焦点为(4,0)，又左准线为x＝－a2c＝－1，故右焦点到左准线的距离为5.答案：53．(2018·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：x2a2－y24＝1(a＞0)的一条渐近线与直线y＝2x＋1平行，则实数a＝________.解析：由双曲线的方程可知其渐近线方程为y＝±2ax.因为一条渐近线与直线y＝2x＋1平行，所以2a＝2，解得a＝1.答案：14．已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为________．解析：由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，设A(x1，x1)，B(x2，－x2)，所以AB中点坐标为x1＋x22，x1－x22，所以x1＋x222－x1－x222＝2，即x1x2＝2，所以S△AOB＝12OA·OB＝12|2x1|·|2x2|＝x1x2＝2.答案：25．(2018·镇江期末)双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦点到相应准线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为________．解析：由题意c－a2c＝2a，即ca2－2·ca－1＝0，e2－2e－1＝0，解得e＝1±2.又因为双曲线的离心率大于1，故双曲线的离心率为1＋2.答案：1＋26．(2019·连云港调研)渐近线方程为y＝±2x，一个焦点的坐标为(10，0)的双曲线的标准方程为________．解析：∵双曲线的渐近线方程为y＝±2x，∴设双曲线方程为x2－y24＝λ(λ≠0)，∵一个焦点的坐标为(10，0)，∴(10)2＝λ＋4λ，解得λ＝2，∴双曲线的标准方程为x22－y28＝1.答案：x22－y28＝17．(2019·淮安模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1的一个焦点与圆x2＋y2－10x＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为________．解析：将圆x2＋y2－10x＝0化成标准方程，得(x－5)2＋y2＝25，则圆x2＋y2－10x＝0的圆心为(5,0)．∴双曲线x2a2－y2b2＝1的一个焦点为F(5,0)，又该双曲线的离心率等于5，∴c＝5，且ca＝5，∴a2＝5，b2＝c2－a2＝20，故该双曲线的标准方程为x25－y220＝1.答案：x25－y220＝18．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF1＝4PF2，则双曲线的离心率e的最大值为________．解析：由双曲线定义知PF1－PF2＝2a，又已知PF1＝4PF2，所以PF1＝83a，PF2＝23a，在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝649a2＋49a2－4c22·83a·23a＝178－98e2，要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值，因为cos∠F1PF2≥－1，所以cos∠F1PF2＝178－98e2≥－1，解得e≤53，即e的最大值为53.答案：539．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点M(3，m)在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)求证：MF1―→·MF2―→＝0；(3)求△F1MF2的面积．解：(1)因为e＝2，则双曲线的实轴、虚轴相等．所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ.因为双曲线过点(4，－10)，所以16－10＝λ，即λ＝6.所以双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明：设MF1―→＝(－23－3，－m)，MF2―→＝(23－3，－m)．所以MF1―→·MF2―→＝(3＋23)×(3－23)＋m2＝－3＋m2，因为M点在双曲线上，所以9－m2＝6，即m2－3＝0，所以MF1―→·MF2―→＝0.(3)因为△F1MF2的底边长F1F2＝43.由(2)知m＝±3.所以△F1MF2的高h＝|m|＝3，所以S△F1MF2＝12×43×3＝6.10．(2018·启东中学检测)已知双曲线y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为2x＋y＝0，且焦点到这条渐近线的距离为1.(1)求此双曲线的方程；(2)若点M55，m在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上．解：(1)依题意得ab＝2，2×0＋c5＝1，a2＋b2＝c2，解得a＝2，b＝1，故双曲线的方程为y24－x2＝1.(2)证明：因为点M55，m在双曲线上，所以m24－15＝1.所以m2＝245，又双曲线y24－x2＝1的焦点为F1(0，－5)，F2(0，5)，所以MF1―→·MF2―→＝－55，－5－m·－55，5－m＝552－(5)2＋m2＝15－5＋245＝0，所以MF1⊥MF2，所以点M在以F1F2为直径的圆上．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x29－y2m＝1的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为________．解析：∵双曲线的两条渐近线的夹角为60°，且渐近线关于x，y轴对称，若夹角在x轴上，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为30°，150°，斜率为±33，故ba＝33.∵c2＝a2＋b2，∴c2－a2a2＝13，即e2－1＝13，解得e＝233.若夹角在y轴上，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为60°，120°，斜率为±3，故ba＝3.同理可求得e＝2.综上，e＝233或2.答案：233或22．(2018·南通中学高三数学练习)已知点F是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．解析：由题意得F(－c,0)，A－c，b2a，B－c，－b2a，E(a，0)．因为△ABE是锐角三角形，所以EA―→·EB―→＞0，即EA―→·EB―→＝－c－a，b2a·－c－a，－b2a＞0.整理，得3e2＋2e＞e4.所以e3－e－2e－2＝e(e＋1)(e－1)－2(e＋1)＝(e＋1)2(e－2)＜0，解得0＜e＜2.又e＞1，所以e∈(1,2)．答案：(1,2)3．已知椭圆C1的方程为x24＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，O为坐标原点．(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且OA―→·OB―→＞2，求k的取值范围．解：(1)设双曲线C2的方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，故双曲线C2的方程为x23－y2＝1.(2)将y＝kx＋2代入x23－y2＝1，得(1－3k2)x2－62kx－9＝0.由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得1－3k2≠0，Δ＝－62k2＋－3k2＝－k2＞0，所以k2＜1且k2≠13.①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝62k1－3k2，x1x2＝－91－3k2.所以x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝(k2＋1)x1x2＋2k(x1＋x2)＋2＝3k2＋73k2－1.又因为OA―→·OB―→＞2，即x1x2＋y1y2＞2，所以3k2＋73k2－1＞2，即－3k2＋93k2－1＞0，解得13＜k2＜3.②由①②得13＜k2＜1，故k的取值范围为－1，－33∪33，1.