（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测（四十）直线与方程 文（含解析）苏教版

课时跟踪检测（四十）直线与方程一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·南通模拟)将直线y＝2x绕原点逆时针旋转π4，则所得直线的斜率为________．解析：设直线y＝2x的倾斜角是α，则tanα＝2，将直线y＝2x绕原点逆时针旋转π4，则倾斜角变为α＋π4，∴所得直线的斜率k＝tanα＋π4＝2＋11－2×1＝－3.答案：－32．(2018·南通中学月考)过点P(－2,4)且斜率k＝3的直线l的方程为________．解析：由题意得，直线l的方程为y－4＝3[x－(－2)]，即3x－y＋10＝0.答案：3x－y＋10＝03．若直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是________．解析：解方程组y＝－2x＋3k＋14，x－4y＝－3k－2，得x＝k＋6，y＝k＋2，因为直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限，所以k＋6＞0且k＋2＜0，所以－6＜k＜－2.答案：(－6，－2)4．(2018·南京名校联考)曲线y＝x3－x＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________．解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))，因为y′＝3x2－1≥－1，所以tanθ≥－1，结合正切函数的图象可知，θ的取值范围为0，π2∪3π4，π.答案：0，π2∪3π4，π5．(2019·无锡模拟)已知直线(a－2)y＝(3a－1)x－1，若这条直线不经过第二象限，则实数a的取值范围是________．解析：若a－2＝0，即a＝2时，直线方程可化为x＝15，此时直线不经过第二象限，满足条件；若a－2≠0，直线方程可化为y＝3a－1a－2x－1a－2，此时若直线不经过第二象限，则3a－1a－2≥0，1a－2≥0，解得a＞2.综上，满足条件的实数a的取值范围是[2，＋∞)．答案：[2，＋∞)6．(2018·南京调研)已知函数f(x)＝asinx－bcosx，若fπ4－x＝fπ4＋x，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为________．解析：由fπ4－x＝fπ4＋x知函数f(x)的图象关于直线x＝π4对称，所以f(0)＝fπ2，所以－b＝a，则直线ax－by＋c＝0的斜率为ab＝－1，故其倾斜角为3π4.答案：3π4二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·泰州模拟)倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是________．解析：由于倾斜角为120°，故斜率k＝－3.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0.答案：3x＋y＋3＝02．(2018·泗阳中学检测)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为________．解析：设P(x,1)，Q(7，y)，则x＋72＝1，y＋12＝－1，所以x＝－5，y＝－3，即P(－5,1)，Q(7，－3)，故直线l的斜率k＝－3－17＋5＝－13.答案：－133．(2019·苏州调研)已知θ∈R，则直线xsinθ－3y＋1＝0的倾斜角的取值范围是________．解析：设直线的倾斜角为α，则tanα＝33sinθ，∵－1≤sinθ≤1，∴－33≤tanα≤33，又α∈[0，π)，∴0≤α≤π6或5π6≤α＜π.答案：0，π6∪5π6，π4．已知两点A(0,1)，B(1,0)，若直线y＝k(x＋1)与线段AB总有公共点，则实数k的取值范围是________．解析：y＝k(x＋1)是过定点P(－1,0)的直线，kPB＝0，kPA＝1－00－－＝1，所以实数k的取值范围是[0,1]．答案：[0,1]5．已知点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是________．解析：因为点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，所以y＝4－x，所以x2＋y2＝x2＋(4－x)2＝2(x－2)2＋8，当x＝2时，x2＋y2取得最小值8.答案：86．(2019·南京模拟)过点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________________．解析：若直线的截距不为0，可设为xa＋ya＝1，把P(2,3)代入，得2a＋3a＝1，a＝5，直线方程为x＋y－5＝0.若直线的截距为0，可设为y＝kx，把P(2,3)代入，得3＝2k，k＝32，直线方程为3x－2y＝0.综上，所求直线方程为x＋y－5＝0或3x－2y＝0.答案：x＋y－5＝0或3x－2y＝07．已知直线l：y＝kx＋1与两点A(－1,5)，B(4，－2)，若直线l与线段AB相交，则实数k的取值范围是______________．解析：易知直线l：y＝kx＋1的方程恒过点P(0,1)，如图，∵kPA＝－4，kPB＝－34，∴实数k的取值范围是(－∞，－4]∪－34，＋∞.答案：(－∞，－4]∪－34，＋∞8．若直线l：xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)经过点(1,2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是________．解析：由直线l：xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)可知直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b.求直线在x轴和y轴上的截距之和的最小值，即求a＋b的最小值．由直线经过点(1,2)得1a＋2b＝1.于是a＋b＝(a＋b)·1a＋2b＝3＋ba＋2ab，因为ba＋2ab≥2ba·2ab＝22当且仅当ba＝2ab时取等号，所以a＋b≥3＋22，故直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值为3＋22.答案：3＋229．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：(1)过定点A(－3,4)；(2)斜率为16.解：(1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－4k－3,3k＋4，由已知，得(3k＋4)4k＋3＝±6，解得k1＝－23或k2＝－83.故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝16x＋b，它在x轴上的截距是－6b，由已知，得|－6b·b|＝6，所以b＝±1.所以直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.10．已知直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.(1)求实数m的取值范围；(2)若直线l的斜率不存在，求实数m的值；(3)若直线l在x轴上的截距为－3，求实数m的值；(4)若直线l的倾斜角是45°，求实数m的值．解：(1)当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线，令m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3；令2m2＋m－1＝0，解得m＝－1或m＝12.所以实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．(2)由(1)易知，当m＝12时，方程表示的直线的斜率不存在．(3)依题意，有2m－6m2－2m－3＝－3，所以3m2－4m－15＝0，所以m＝3或m＝－53，由(1)知所求m＝－53.(4)因为直线l的倾斜角是45°，所以斜率为1.由－m2－2m－32m2＋m－1＝1，解得m＝43或m＝－1(舍去)．所以直线l的倾斜角为45°时，m＝43.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·无锡期末)过点(2,3)的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△AOB(O为坐标原点)面积最小时，直线l的方程为________________．解析：设直线l的斜率为k，且k＜0，所以直线l的方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0.令x＝0，得y＝3－2k，所以B(0，3－2k)；令y＝0，得x＝2－3k，所以A2－3k，0.则△AOB的面积为S＝12(3－2k)2－3k＝126＋6－9k－4k≥1212＋2－9k－4k＝12，当且仅当－9k＝－4k，即k＝－32时等号成立，所以直线l的方程为3x＋2y－12＝0.答案：3x＋2y－12＝02．已知曲线y＝1ex＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y′＝－exx＋2＝－1ex＋1ex＋2，因为ex＞0，所以ex＋1ex≥2ex·1ex＝2(当且仅当ex＝1ex，即x＝0时取等号)，所以ex＋1ex＋2≥4，故y′＝－1ex＋1ex＋2≥－14(当且仅当x＝0时取等号)．所以当x＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为0，12，切线的方程为y－12＝－14(x－0)，即x＋4y－2＝0.该切线在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S＝12×2×12＝12.答案：123．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．解：(1)证明：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．(2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则k≥0，1＋2k≥0，解得k≥0，故k的取值范围是[)0，＋∞.(3)依题意，直线l在x轴上的截距为－1＋2kk，在y轴上的截距为1＋2k，所以A－1＋2kk，0，B(0,1＋2k)．又－1＋2kk＜0且1＋2k＞0，所以k＞0.故S＝12|OA||OB|＝12×1＋2kk×(1＋2k)＝124k＋1k＋4≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k＝1k，即k＝12时，取等号．故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.