（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测（四十）空间向量的运算及应用 理（含解析）苏教版

课时跟踪检测（四十）空间向量的运算及应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝12x－2a，则x＝________.解析：由b＝12x－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．答案：(0,6，－20)2．(2019·汇龙中学检测)若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则直线l和平面α的位置关系为________．解析：因为a＝(1,0,2)，n＝(－2,0，－4)，所以n＝－2a，即a∥n.所以l⊥α.答案：l⊥α3．(2018·睢宁中学检测)已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，且OA―→＝a，OB―→＝b，OC―→＝c，用a，b，c表示向量MN―→＝________.解析：如图所示，连结ON，AN，则ON―→＝12(OB―→＋OC―→)＝12(b＋c)，AN―→＝12(AC―→＋AB―→)＝12(OC―→－2OA―→＋OB―→)＝12(－2a＋b＋c)＝－a＋12b＋12c，所以MN―→＝12(ON―→＋AN―→)＝－12a＋12b＋12c.答案：－12a＋12b＋12c4．若点C(4a＋1,2a＋1,2)在点P(1,0,0)，A(1，－3,2)，B(8，－1,4)所确定的平面上，则a＝________.解析：由题意得PA―→＝(0，－3,2)，PB―→＝(7，－1,4)，PC―→＝(4a,2a＋1,2)，根据共面向量定理，设PC―→＝xPA―→＋yPB―→，则(4a,2a＋1,2)＝x(0，－3,2)＋y(7，－1,4)＝(7y，－3x－y，2x＋4y)，所以4a＝7y，2a＋1＝－3x－y，2＝2x＋4y，解得x＝－133，y＝83，a＝143.答案：1435．若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________.解析：因为α∥β，所以u1∥u2，所以－36＝y－2＝2z，所以y＝1，z＝－4，所以y＋z＝－3.答案：－36．(2019·滨海检测)已知空间三点A(0,2,3)，B(2,5,2)，C(－2,3,6)，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为________．解析：∵AB―→＝(2,3，－1)，AC―→＝(－2,1,3)．∴AB―→·AC―→＝－4＋3－3＝－4，|AB―→|＝22＋32＋－2＝14，|AC―→|＝－2＋12＋32＝14.∴cos∠BAC＝AB―→·AC―→|AB―→|·|AC―→|＝－414×14＝－27.∴sin∠BAC＝1－cos2∠BAC＝357.故以AB，AC为邻边的平行四边形的面积S＝|AB―→|·|AC―→|·sin∠BAC＝14×14×357＝65.答案：65二保高考，全练题型做到高考达标1．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点．若AB―→＝(2，－1，－4)，AD―→＝(4,2,0)，AP―→＝(－1,2，－1)，则给出下列结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP―→是平面ABCD的一个法向量；④AP―→∥BD―→.其中正确的是________．(填序号)解析：∵AB―→·AP―→＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，∴AB―→⊥AP―→，即AP⊥AB，故①正确．∵AP―→·AD―→＝(－1)×4＋2×2＋0＝0，∴AP―→⊥AD―→，即AP⊥AD，故②正确．又AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD，故AP―→是平面ABCD的一个法向量，故③正确．∵BD―→＝AD―→－AB―→＝(2,3,4)，AP―→＝(－1,2，－1)，∴2－1≠32≠4－1，∴AP―→与BD―→不平行，故④错误．答案：①②③2．已知a＝(1,0,1)，b＝(x,1,2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为________．解析：因为a·b＝x＋2＝3，所以x＝1，所以b＝(1,1,2)．所以cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝32×6＝32.所以a与b的夹角为π6.答案：π63．(2019·盐城中学检测)已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0，1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．解析：设平面α的法向量为m＝(x，y，z)，因为AB―→＝(0,1，－1)，AC―→＝(1,0，－1)，则y－z＝0，x－z＝0，令x＝1，得m＝(1,1,1)．因为m＝－n，所以m∥n，所以α∥β.答案：α∥β4．已知正三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，将此三角形沿DE翻折，当AE⊥BD时，二面角A­DE­F的余弦值等于________．解析：不妨设GD＝GE＝1，则GA＝GF＝3，AE＝BD＝2，由已知得∠AGF即为二面角A­DE­F的平面角，设其为θ.则AE―→·BD―→＝(GE―→－GA―→)·(BF―→＋FG―→＋GD―→)＝(GE―→－GA―→)·(2GE―→－GF―→－GE―→)＝(GE―→－GA―→)·(GE―→－GF―→)＝GE―→2－GE―→·GF―→－GA―→·GE―→＋GA―→·GF―→＝1－0－0＋3·3cosθ＝1＋3cosθ＝0，所以cosθ＝－13，即当AE⊥BD时，二面角A­DE­F的余弦值等于－13.答案：－135．(2019·南京调研)如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝5，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则对角线AC1的长度等于________．解析：AC1―→2＝(AB―→＋AD―→＋AA1―→)2＝AB―→2＋AD―→2＋AA1―→2＋2AB―→·AD―→＋2AB―→·AA1―→＋2AD―→·AA1―→＝16＋9＋25＋2×4×3×cos90°＋2×4×5×cos60°＋2×3×5×cos60°＝50＋20＋15＝85，即|AC1―→|＝85.答案：856．在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)，B(10，－1,6)，C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为________．解析：由题意知AB―→·AC―→＝0，|AB―→|＝|AC―→|，又AB―→＝(6，－2，－3)，AC―→＝(x－4,3，－6)，所以x－－6＋18＝0，x－2＝4，解得x＝2.答案：27．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是CD，PC的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，则MN＝________.解析：连结PD，因为M，N分别为CD，PC的中点，所以MN＝12PD，又P(0,0,1)，D(0,1,0)，所以PD＝02＋－2＋12＝2，所以MN＝22.答案：228．已知向量AB―→＝(1,5，－2)，BC―→＝(3,1,2)，DE―→＝(x，－3,6)．若DE∥平面ABC，则x的值是________．解析：∵DE∥平面ABC，∴存在实数m，n，使得DE―→＝mAB―→＋nBC―→，即x＝m＋3n，－3＝5m＋n，6＝－2m＋2n，解得x＝5.答案：59．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离．解：因为∠ACD＝90°，所以AC―→·CD―→＝0.同理可得AC―→·BA―→＝0.因为AB与CD成60°角，所以〈BA―→，CD―→〉＝60°或〈BA―→，CD―→〉＝120°，又BD―→＝BA―→＋AC―→＋CD―→，所以|BD―→|2＝|BA―→|2＋|AC―→|2＋|CD―→|2＋2BA―→·AC―→＋2BA―→·CD―→＋2AC―→·CD―→＝3＋2×1×1×cos〈BA―→，CD―→〉．所以当〈BA―→，CD―→〉＝60°时，|BD―→|2＝4，此时B，D间的距离为2；当〈BA―→，CD―→〉＝120°时，|BD―→|2＝2，此时B，D间的距离为2.10．如图，在多面体ABC­A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝2AB，B1C1綊12BC，二面角A1­AB­C是直二面角．求证：(1)A1B1⊥平面AA1C；(2)AB1∥平面A1C1C.证明：因为二面角A1­AB­C是直二面角，四边形A1ABB1为正方形，所以AA1⊥平面ABC.又因为AB＝AC，BC＝2AB，所以∠CAB＝90°，即CA⊥AB，所以AB，AC，AA1两两互相垂直．建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz，设AB＝2，则A(0,0,0)，B1(0,2,2)，A1(0,0,2)，C(2,0,0)，C1(1,1,2)．(1)A1B1―→＝(0,2,0)，A1A―→＝(0,0，－2)，AC―→＝(2,0,0)，设平面AA1C的一个法向量n＝(x，y，z)，则n·A1A―→＝0，n·AC―→＝0，即－2z＝0，2x＝0，即x＝0，z＝0.取y＝1，则n＝(0,1,0)．所以A1B1―→＝2n，即A1B1―→∥n.所以A1B1⊥平面AA1C.(2)易知AB1―→＝(0,2,2)，A1C1―→＝(1,1,0)，A1C―→＝(2,0，－2)，设平面A1C1C的一个法向量m＝(x1，y1，z1)，则m·A1C1―→＝0，m·A1C―→＝0，即x1＋y1＝0，2x1－2z1＝0，令x1＝1，则y1＝－1，z1＝1，即m＝(1，－1,1)．所以AB1―→·m＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0，所以AB1―→⊥m.又AB1⊄平面A1C1C，所以AB1∥平面A1C1C.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，CC1＝5，E是棱CC1上不同于端点的点，且CE―→＝λCC1―→.当∠BEA1为钝角时，则实数λ的取值范围为________．解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,3,0)，C1(0，3,5)，B(2,3,0)，A1(2,0,5)．因为CE―→＝λCC1―→，所以E(0,3,5λ)．从而EB―→＝(2,0，－5λ)，EA1―→＝(2，－3,5－5λ)．当∠BEA1为钝角时，cos∠BEA1＜0，所以EB―→·EA1―→＜0，即2×2－5λ(5－5λ)＜0，解得15＜λ＜45.答案：15，452．(2019·海门中学检测)如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为________．解析：由题意知CD，CB，CE两两垂直，所以以C为原点，以CD，CB，CE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，设M点的坐标为(x，y,1)，AC∩BD＝O，连结OE，则O22，22，0，又E(0,0,1)，A(2，2，0)，所以OE―→＝－22，－22，1，AM―→＝(x－2，y－2，1)，因为AM∥平面BDE，AM⊂平面ACEF，平面BDE∩平面ACEF＝OE，所以OE∥AM，所以x－2＝－22，y－2＝－22即x＝22，y＝22，所以M22，22，1.答案：22，22，13．如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)证明：AP⊥BC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC.证明：(1)以O为坐标原点，以射线OD为y轴正半轴，射线OP为z轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz.则O(0,0,0)，A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4)．于是AP―→＝(0,3,4)，BC―→＝(－8，