（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测（十一）函数与方程 文（含解析）苏教版

课时跟踪检测（十一）函数与方程一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知函数f(x)＝23x＋1＋a的零点为1，则实数a的值为______．解析：由已知得f(1)＝0，即231＋1＋a＝0，解得a＝－12.答案：－122．已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m的取值范围是______．解析：设函数f(x)＝x2＋mx－6，则根据条件有f(2)＜0，即4＋2m－6＜0，解得m＜1.答案：(－∞，1)3．已知函数f(x)＝－2，x＞0，－x2＋bx＋c，x≤0，若f(0)＝－2，f(－1)＝1，则函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为______．解析：依题意得c＝－2，－1－b＋c＝1，由此解得b＝－4，c＝－2.由g(x)＝0得f(x)＋x＝0，该方程等价于x＞0，－2＋x＝0，①或x≤0，－x2－4x－2＋x＝0.②解①得x＝2，解②得x＝－1或x＝－2.因此，函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为3.答案：34．(2019·连云港调研)已知函数f(x)＝2－x2－x＋b有一个零点，则实数b的取值范围为________．解析：由已知，函数f(x)＝2－x2－x＋b有一个零点，即函数y＝x－b和y＝2－x2的图象有1个交点，如图，其中与半圆相切的直线方程为y＝x＋2，过点(0，2)的直线方程为y＝x＋2，所以满足条件的b的取值范围是b＝－2或－2＜b≤2.答案：{－2}∪(－2，2]5．(2018·苏州质检)已知函数f(x)＝12x－cosx，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为________．解析：作出g(x)＝12x与h(x)＝cosx的图象如图所示，可以看到其在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0,2π]上的零点个数为3.答案：36．(2018·泰州中学上学期期中)已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lgx|的图象的交点共有________个．解析：在同一直角坐标系中分别作出y＝f(x)和y＝|lgx|的图象，如图，结合图象知，共有10个交点．答案：10二保高考，全练题型做到高考达标1．设x0为函数f(x)＝2x＋x－2的零点，且x0∈(m，n)，其中m，n为相邻的整数，则m＋n＝________.解析：函数f(x)＝2x＋x－2为R上的单调增函数，又f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，f(1)＝2＋1－2＝1＞0，所以f(0)·f(1)＜0，故函数f(x)＝2x＋x－2的零点在区间(0,1)内，故m＝0，n＝1，m＋n＝1.答案：12．(2018·镇江中学检测)已知函数f(x)＝2x＋2x－6的零点为x0，不等式x－4＞x0的最小的整数解为k，则k＝________.解析：函数f(x)＝2x＋2x－6为R上的单调增函数，又f(1)＝－2＜0，f(2)＝2＞0，所以函数f(x)＝2x＋2x－6的零点x0满足1＜x0＜2，故满足x0＜n的最小的整数n＝2，即k－4＝2，所以满足不等式x－4＞x0的最小的整数解k＝6.答案：63．已知方程2x＋3x＝k的解在[1,2)内，则k的取值范围为________．解析：令函数f(x)＝2x＋3x－k，则f(x)在R上是增函数．当方程2x＋3x＝k的解在(1,2)内时，f(1)·f(2)＜0，即(5－k)(10－k)＜0，解得5＜k＜10.当f(1)＝0时，k＝5.综上，k的取值范围为[5,10)．答案：[5,10)4．(2019·太原模拟)若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则实数m的取值范围是________．解析：依题意并结合函数f(x)的图象可知，m≠2，f－f＜0，ff＜0，即m≠2，[m－2－m＋m＋m＋＜0，[m－2＋m＋m＋m－＋2m＋m＋＜0，解得14＜m＜12.答案：14，125．(2018·无锡期末)设函数f(x)＝1，x≥1，x·log2x＋，x＜1，若方程f(x)－mx＝0恰好有3个零点，则实数m的取值范围为________．解析：当x≥1时，方程f(x)－mx＝0变为1－mx＝0，解得x＝1m；当－1＜x＜1时，方程f(x)－mx＝0变为x[log2(x＋1)－m]＝0，解得x＝0或x＝2m－1.因为f(x)－mx＝0恰好有3个零点，所以1m≥1，且－1＜2m－1＜1，解得0＜m＜1，故实数m的取值范围为(0,1)．答案：(0,1)6．(2019·镇江调研)已知k为常数，函数f(x)＝x＋2x－1，x≤0，|lnx|，x＞0，若关于x的方程f(x)＝kx＋2有且只有4个不同的解，则实数k的取值范围为________．解析：作出函数y＝f(x)的大致图象如图所示，若关于x的方程f(x)＝kx＋2有且只有4个不同解，当直线y＝kx＋2与y＝lnx的图象相切时，设切点为(m，n)，可得n＝lnm，y＝lnx的导数为y′＝1x(x＞1)，可得k＝1m，则n＝km＋2，解得m＝e3，k＝e－3，则实数k的取值范围为(0，e－3)．答案：(0，e－3)7．(2018·苏州调研)已知函数f(x)＝lnx，x＞0，2x＋1，x≤0，若直线y＝ax与y＝f(x)交于三个不同的点A(m，f(m))，B(n，f(n))，C(t，f(t))(其中m＜n＜t)，则n＋1m＋2的取值范围是________．解析：由已知条件可得2m＋1＝am，lnn＝an，所以2＋1m＝a，lnnn＝a，所以n＋1m＋2＝n＋lnnn，令g(n)＝n＋lnnn，当f(x)＝lnx，x＞0与y＝ax相切时，由f′(x)＝1x，得1x＝a，又lnx＝ax，解得x＝e，所以要满足题意，则1＜n＜e.由g′(n)＝1＋1－lnnn2＞0，所以g(n)＝n＋lnnn在(1，e)上单调递增，所以g(n)＝n＋1m＋2∈1，e＋1e.答案：1，e＋1e8．(2018·南京、盐城一模)设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝2x＋m2x，设g(x)＝fx，x＞1，f－x，x≤1，若函数y＝g(x)－t有且只有一个零点，则实数t的取值范围是________．解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即2－x＋m·2x＝－(2x＋m·2－x)，解得m＝－1，故g(x)＝2x－2－x，x＞1，2－x－2x，x≤1，作出函数g(x)的图象(如图所示)．当x＞1时，g(x)单调递增，此时g(x)＞32；当x≤1时，g(x)单调递减，此时g(x)≥－32，所以当t∈－32，32时，y＝g(x)－t有且只有一个零点．答案：－32，329．已知二次函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a，(1)判断命题：“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y＝f(x)在区间(－1,0)及0，12内各有一个零点，求实数a的取值范围．解：(1)“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”是真命题．依题意，f(x)＝1有实根，即x2＋(2a－1)x－2a＝0有实根，因为Δ＝(2a－1)2＋8a＝(2a＋1)2≥0对于任意的a∈R恒成立，即x2＋(2a－1)x－2a＝0必有实根，从而f(x)＝1必有实根．(2)依题意，要使y＝f(x)在区间(－1,0)及0，12内各有一个零点，只需f－＞0，f＜0，f12＞0，即3－4a＞0，1－2a＜0，34－a＞0，解得12＜a＜34.故实数a的取值范围为12，34.10．(2018·通州中学检测)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1，g(x)＝a2x2＋bx＋1.若函数f(x)有两个不同零点x1，x2，函数g(x)有两个不同零点x3，x4.(1)若x3＜x1＜x4，试比较x2，x3，x4的大小关系；(2)若x1＝x3＜x2，m，n，p∈(－∞，x1)，fmgn＝fngp＝fpgm，求证：m＝n＝p.解：(1)因为函数g(x)的图象开口向上，且零点为x3，x4，故g(x)＜0⇔x∈(x3，x4)．因为x1，x2是f(x)的两个不同零点，故f(x1)＝f(x2)＝0.因为x3＜x1＜x4，故g(x1)＜0＝f(x1)，于是(a2－a)x21＜0.注意到x1≠0，故a2－a＜0.所以g(x2)－f(x2)＝(a2－a)x22＜0，故g(x2)＜f(x2)＝0，从而x2∈(x3，x4)，于是x3＜x2＜x4.(2)证明：记x1＝x3＝t，故f(t)＝at2＋bt＋1＝0，g(t)＝a2t2＋bt＋1＝0，于是(a－a2)t2＝0.因为a≠0，且t≠0，故a＝1.所以f(x)＝g(x)且图象开口向上．所以对∀x∈(－∞，x1)，f′(x)递增且f′(x)＜0，g(x)递减且g(x)＞0.若m＞n，则f′(n)＜f′(m)＜0，1gn＞1gp＞0，从而g(p)＞g(n)＞0，故n＞p.同上，当n＞p时，可推得p＞m.所以p＞m＞n＞p，矛盾．所以m＞n不成立．同理，n＞m亦不成立．所以m＝n.同理，n＝p.所以m＝n＝p.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·镇江期中)函数f(x)＝|lnx|＋3，x＞0，－x2－2x－2，x≤0，若关于x的方程f2(x)＋bf(x)＋4b＋1＝0有4个不同的实数根，则实数b的取值范围是________．解析：令t＝f(x)，则原方程等价于t2＋bt＋1＋4b＝0.作出函数f(x)的图象如图所示．由图象可知，当t＞3，－2≤t＜－1时，函数y＝t和y＝f(x)各有两个交点，要使方程f2(x)＋bf(x)＋4b＋1＝0有4个不同的实数根，则方程t2＋bt＋1＋4b＝0有两个根t1，t2，且t1＞3，－2≤t2＜－1.令g(t)＝t2＋bt＋1＋4b，则由根的分布可得g－＝5＋2b≥0，g－＝2＋3b＜0，g＝10＋7b＜0，解得－52≤b＜－107.答案：－52，－1072．(2019·南京调研)设函数fk(x)＝2x＋(k－1)·2－x(x∈R，k∈Z)．(1)若fk(x)是偶函数，求不等式fk(x)＞174的解集；(2)设不等式f0(x)＋mf1(x)≤4的解集为A，若A∩[1,2]≠∅，求实数m的取值范围；(3)设函数g(x)＝λf0(x)－f2(2x)－2，若g(x)在x∈[1，＋∞)上有零点，求实数λ的取值范围．解：(1)因为fk(x)是偶函数，所以fk(－x)＝fk(x)恒成立，即2－x＋(k－1)·2x＝2x＋(k－1)·2－x，所以k＝2.由2x＋2－x＞174，得4·22x－17·2x＋4＞0，解得2x＜14或2x＞4，即x＜－2或x＞2，所以不等式fk(x)＞174的解集为{x|x＜－2或x＞2}．(2)不等式f0(x)＋mf1(x)≤4，即为2x－2－x＋m·2x≤4，所以m≤2－x－2x＋42x，即m≤12x2＋4·12x－1.令t＝12x，x∈[1,2]，则t∈14，12，设h(t)＝t2＋4t－1，t∈14，12，则h(t)max＝h12＝54.由A∩[1,2]≠∅，即不等式f0(x)＋mf1(x)≤4在[1,2]上有解，则需m≤h(t)max，即m≤54.所以实数m的取值范围为－∞，54.(3)函数g(x)＝λ(2x－2－x)－(22x＋2－2x)－2在x∈[1，＋∞)上有零点，即λ(2x－2－x)－(22x＋2－2x)－2＝0在x∈[1，＋∞)上有解，因为x∈[1，＋∞)，所以2x－2－x＞0，所以问题等价于λ＝22x＋2－2x＋22x－2－x在x∈[1，＋∞)上有解．令p＝2x，则p≥2，令u＝p－1p，则u在p∈[2，