（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测（十四）导数与函数的单调性 文（含解析）苏教版

课时跟踪检测（十四）导数与函数的单调性一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数f(x)＝x－lnx的单调减区间为________．解析：函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－1x＝x－1x，令f′(x)＜0，得0＜x＜1.答案：(0,1)2．(2018·启东中学检测)已知函数f(x)＝x－1－(e－1)lnx，其中e为自然对数的底数，则满足f(ex)＜0的x的取值范围为________．解析：由f′(x)＝1－e－1x＝0(x＞0)，得x＝e－1.当x∈(0，e－1)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x∈(e－1，＋∞)时，函数f(x)单调递增．又f(1)＝f(e)＝0,1＜e－1＜e，所以由f(ex)＜0得1＜ex＜e，解得0＜x＜1.答案：(0,1)3．(2019·盐城中学检测)若函数f(x)＝14x＋3－kx＋lnx在区间[1,2]上单调递增，则实数k的取值范围是________．解析：∵函数f(x)＝14x＋3－kx＋lnx在区间[1,2]上单调递增，∴f′(x)＝14＋k－3x2＋1x≥0在[1,2]上恒成立，∴k≥－14x2－x＋3，∵y＝－14x2－x＋3在[1,2]上单调递减，∴ymax＝－14－1＋3＝74，∴k≥74.答案：74，＋∞4．定义在R上的可导函数f(x)，已知y＝ef′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的增区间是________．解析：由题意及题图知f′(x)≥0的区间是(－∞，2)，故函数y＝f(x)的增区间是(－∞，2)．答案：(－∞，2)5．(2019·响水中学模拟)若函数f(x)＝ax3－3x在区间(－1，1)上为单调减函数，则a的取值范围是________．解析：若函数f(x)＝ax3－3x在(－1,1)上为单调减函数，则f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立，即3ax2－3≤0在(－1,1)上恒成立，即ax2≤1在(－1,1)上恒成立．若a≤0，满足条件．若a＞0，则只要当x＝1或x＝－1时，满足条件即可，此时a≤1，即0＜a≤1.综上a≤1.答案：(－∞，1]二保高考，全练题型做到高考达标1．若幂函数f(x)的图象过点22，12，则函数g(x)＝exf(x)的单调递减区间为________．解析：设幂函数f(x)＝xα，因为图象过点22，12，所以12＝22α，α＝2，所以f(x)＝x2，故g(x)＝exx2，令g′(x)＝exx2＋2exx＝ex(x2＋2x)＜0，得－2＜x＜0，故函数g(x)的单调递减区间为(－2,0)．答案：(－2,0)2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间为________．解析：函数f(x)＝(x－3)ex的导数为f′(x)＝[(x－3)ex]′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)＞0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)ex＞0，解得x＞2.答案：(2，＋∞)3．若函数f(x)＝13x3＋x2－ax＋3a在区间[1,2]上单调递增，则实数a的取值范围是________．解析：因为f′(x)＝x2＋2x－a，且函数f(x)在区间[1,2]上单调递增，所以f′(x)≥0在[1,2]上恒成立，所以a≤(x2＋2x)min＝3，所以a≤3.答案：(－∞，3]4．(2018·淮安期末)若函数f(x)＝12x2－alnx在其定义域内的一个子区间(a－2，a＋2)上不单调，则实数a的取值范围是________．解析：函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，故a－2≥0，解得a≥2，而f′(x)＝x－ax，令x－ax＝0，解得x＝a.因为f(x)在(a－2，a＋2)上不单调，所以a－2＜a＜a＋2，解得0≤a＜4.综上，a∈[2,4)．答案：[2,4)5．(2018·姜堰中学学情调研)函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)＜0，设a＝f(0)，b＝f12，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为________．解析：依题意得，当x＜1时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，1)上为增函数．又f(3)＝f(－1)，且－1＜0＜12＜1，因此f(－1)＜f(0)＜f12，即f(3)＜f(0)＜f12，c＜a＜b.答案：c＜a＜b6．(2018·东台中学期末)已知f(x)是定义在R上的函数，f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)＋f(x)＞0，且f(0)＝1，则不等式f(x)＜e－x的解集为________．解析：令g(x)＝exf(x)，则g′(x)＝ex[f′(x)＋f(x)]＞0，所以g(x)在R上单调递增，而f(0)＝1，故g(0)＝1.f(x)＜e－x等价于exf(x)＜1，则g(x)＜g(0)，解得x＜0.答案：(－∞，0)7．已知定义在R上的可导函数f(x)满足f′(x)＜1，若f(2－m)－f(m)＜2－2m，则实数m的取值范围是________．解析：令g(x)＝f(x)－x，所以g′(x)＝f′(x)－1＜0，即g(x)在R上单调递减，由题可知f(2－m)－f(m)＜2－2m，即f(2－m)－(2－m)＜f(m)－m，也即g(2－m)＜g(m)，所以2－m＞m，即得m＜1.答案：(－∞，1)8．已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)的导数f′(x)＜12，则不等式f(x2)＜x22＋12的解集为________．解析：设F(x)＝f(x)－12x，所以F′(x)＝f′(x)－12，因为f′(x)＜12，所以F′(x)＝f′(x)－12＜0，即函数F(x)在R上单调递减．因为f(x2)＜x22＋12，所以f(x2)－x22＜f(1)－12，所以F(x2)＜F(1)，而函数F(x)在R上单调递减，所以x2＞1，即x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)9．已知函数f(x)＝x4＋ax－lnx－32，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝14－ax2－1x，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x知f′(1)＝－34－a＝－2，解得a＝54.(2)由(1)知f(x)＝x4＋54x－lnx－32，则f′(x)＝x2－4x－54x2.令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x∈(0,5)时，f′(x)＜0，故f(x)在(0,5)内为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．综上，f(x)的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0,5)．10．(2018·前黄高级中学期末)已知函数f(x)＝12ax2＋2x－lnx(a∈R)．(1)当a＝3时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数存在单调增区间，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝3时，f(x)＝32x2＋2x－lnx，其定义域为(0，＋∞)．∴f′(x)＝3x＋2－1x＝x－x＋x，当x∈0，13时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈13，＋∞时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．∴f(x)的单调减区间为0，13，单调增区间为13，＋∞.(2)f(x)＝12ax2＋2x－lnx，其定义域为(0，＋∞)，∴f′(x)＝ax＋2－1x＝ax2＋2x－1x.若函数存在单调增区间，则f′(x)＞0在区间(0，＋∞)上有解，即ax2＋2x－1＞0在区间(0，＋∞)上有解．分离参数得a＞1－2xx2，令g(x)＝1－2xx2，则依题意，只需a＞g(x)min即可．∵g(x)＝1－2xx2＝1x－12－1，∴g(x)min＝－1，故所求a的取值范围为(－1，＋∞)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知函数f′(x)是函数f(x)的导函数，f(1)＝1e，对任意实数x，都有f(x)－f′(x)＞0，则不等式f(x)＜ex－2的解集为________．解析：设g(x)＝fxex，则g′(x)＝fxx－exfxx2＝fx－fxex.∵对任意实数x，都有f(x)－f′(x)＞0，∴g′(x)＜0，即g(x)为R上的减函数．g(1)＝fe＝1e2，由不等式f(x)＜ex－2，得fxex＜e－2＝1e2，即g(x)＜g(1)．∵g(x)为R上的减函数，∴x＞1，∴不等式f(x)＜ex－2的解集为(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)2．已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2·fx＋m2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝a－xx.当a＞0时，f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；当a＜0时，f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)；当a＝0时，f(x)不是单调函数．(2)由(1)及题意得f′(2)＝－a2＝1，即a＝－2，所以f(x)＝－2lnx＋2x－3，f′(x)＝2x－2x.所以g(x)＝x3＋m2＋2x2－2x，所以g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.因为g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，即g′(x)＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g′(0)＝－2，所以gt＜0，g＞0.当g′(t)＜0，即3t2＋(m＋4)t－2＜0对任意t∈[1,2]恒成立，由于g′(0)＜0，故只要g′(1)＜0且g′(2)＜0，即m＜－5且m＜－9，即m＜－9；由g′(3)＞0，即m＞－373.所以－373＜m＜－9.即实数m的取值范围是－373，－9.