（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测（十七）任意角、弧度制及任意角的三角函数 理（含

课时跟踪检测（十七）任意角、弧度制及任意角的三角函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·如东模拟)与－600°终边相同的最小正角的弧度数是________．解析：－600°＝－720°＋120°，与－600°终边相同的最小正角是120°，120°＝2π3.答案：2π32．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0＜α＜π)的弧度数为________．解析：设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为3r，所以3r＝αr，所以α＝3.答案：33．(2019·苏州期中)已知扇形的圆心角为θ，其弧长是其半径的2倍，则sinθ|sinθ|＋|cosθ|cosθ＋|tanθ|tanθ＝________.解析：圆心角θ＝lr＝2，∵π2＜2＜π，∴sinθ＞0，cosθ＜0，tanθ＜0，∴sinθ|sinθ|＋|cosθ|cosθ＋|tanθ|tanθ＝1－1－1＝－1.答案：－14．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－255，则y＝________.解析：因为sinθ＝y42＋y2＝－255，所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8.答案：－85．已知角α的终边上一点P(－3，m)(m≠0)，且sinα＝2m4，则m＝________.解析：由题设知点P的横坐标x＝－3，纵坐标y＝m，所以r2＝|OP|2＝(－3)2＋m2(O为原点)，即r＝3＋m2.所以sinα＝mr＝2m4＝m22，所以r＝3＋m2＝22，即3＋m2＝8，解得m＝±5.答案：±56．已知集合M＝xx＝k·π2，k∈Z，N＝xx＝kπ±π2，k∈Z，则M，N之间的关系为________.解析：kπ±π2＝(2k±1)·π2是π2的奇数倍，所以N⊆M.答案：N⊆M二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·常州调研)若扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，则该扇形圆心角的弧度数为________．解析：设该扇形圆心角的弧度数是α，半径为r，根据题意，有2r＋αr＝4，12α·r2＝1，解得α＝2，r＝1.故该扇形圆心角的弧度数为2.答案：22．(2018·黄桥中学检测)设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝15x，则tan2α＝________.解析：由三角函数的定义可得cosα＝xx2＋42.因为cosα＝15x，所以xx2＋42＝15x，又α是第二象限角，所以x＜0，解得x＝－3，所以cosα＝－35，sinα＝1－cos2α＝45，所以tanα＝sinαcosα＝－43，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝247.答案：2473．已知角α终边上一点P的坐标是(2sin2，－2cos2)，则sinα＝________.解析：因为r＝2＋－2＝2，由任意三角函数的定义，得sinα＝yr＝－cos2.答案：－cos24．已知角2α的终边落在x轴上方，那么α是第________象限角．解析：由题知2kπ＜2α＜π＋2kπ，k∈Z，所以kπ＜α＜π2＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，α是第一象限角；当k为奇数时，α为第三象限角，所以α为第一或第三象限角．答案：一或三5．与2017°的终边相同，且在0°～360°内的角是________．解析：因为2017°＝217°＋5×360°，所以在0°～360°内终边与2017°的终边相同的角是217°.答案：217°6．(2019·淮安调研)已知α为第一象限角，sinα＝35，则cosα＝________.解析：∵α为第一象限角，sinα＝35，∴cosα＝1－sin2α＝1－925＝45.答案：457．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________．解析：设圆的半径为r，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α，则12α2r32πr2＝527，所以α＝5π6.所以扇形的弧长与圆周长之比为lc＝5π6·23r2πr＝518.答案：5188．在(0,2π)内，使sinx＞cosx成立的x的取值范围为____________________．解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sinx＝cosx的x值，sinπ4＝cosπ4＝22，sin5π4＝cos5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x∈π4，5π4.答案：π4，5π49．(2019·镇江中学高三学情调研)点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1按顺时针方向运动π3弧长到达点Q，则点Q的坐标为________．解析：由题意可得点Q的横坐标为cos－π3＝12，Q的纵坐标为sin－π3＝－sinπ3＝－32，故点Q的坐标为12，－32.答案：12，－3210．已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sinα＋3cosα的值．解：设α终边上任一点为P(k，－3k)，则r＝k2＋－2＝10|k|.当k＞0时，r＝10k，所以sinα＝－3k10k＝－310，1cosα＝10kk＝10，所以10sinα＋3cosα＝－310＋310＝0；当k＜0时，r＝－10k，所以sinα＝－3k－10k＝310，1cosα＝－10kk＝－10，所以10sinα＋3cosα＝310－310＝0.综上，10sinα＋3cosα＝0.11．已知扇形AOB的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，(1)由题意可得2r＋l＝8，12lr＝3，解得r＝3，l＝2或r＝1，l＝6，所以α＝lr＝23或α＝lr＝6.(2)法一：因为2r＋l＝8，所以S扇＝12lr＝14l·2r≤14l＋2r22＝14×822＝4，当且仅当2r＝l，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值4.所以圆心角α＝2，弦长AB＝2sin1×2＝4sin1.法二：因为2r＋l＝8，所以S扇＝12lr＝12r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)2＋4≤4，当且仅当r＝2，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值4.所以弦长AB＝2sin1×2＝4sin1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP―→的坐标为________．解析：如图，作CQ∥x轴，PQ⊥CQ，Q为垂足．根据题意得劣弧DP＝2，故∠DCP＝2弧度，则在△PCQ中，∠PCQ＝2－π2弧度，CQ＝cos2－π2＝sin2，PQ＝sin2－π2＝－cos2，所以P点的横坐标为2－CQ＝2－sin2，P点的纵坐标为1＋PQ＝1－cos2，所以P点的坐标为(2－sin2，1－cos2)，此即为向量OP―→的坐标．答案：(2－sin2,1－cos2)2．已知sinα＜0，tanα＞0.(1)求α角的集合；(2)求α2终边所在的象限；(3)试判断tanα2sinα2cosα2的符号．解：(1)由sinα＜0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上；由tanα＞0,知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为α2kπ＋π＜α＜2kπ＋3π2，k∈Z.(2)由2kπ＋π＜α＜2kπ＋3π2，k∈Z，得kπ＋π2＜α2＜kπ＋3π4，k∈Z，故α2终边在第二、四象限．(3)当α2在第二象限时，tanα2＜0，sinα2＞0,cosα2＜0，所以tanα2sinα2cosα2取正号；当α2在第四象限时，tanα2＜0，sinα2＜0,cosα2＞0，所以tanα2sinα2cosα2也取正号．因此，tanα2sinα2cosα2取正号．