（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测（十九）三角函数的图象与性质 文（含解析）苏教版

课时跟踪检测（十九）三角函数的图象与性质一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·南通调研)已知函数y＝cosaπx(a＞0)的最小正周期为2，则实数a＝________.解析：∵函数y＝cosaπx(a＞0)的最小正周期为2πaπ＝2，∴a＝1.答案：12．(2018·南京名校联考)函数y＝tanx，x∈0，π4的值域是________．解析：函数y＝tanx在区间0，π4上单调递增，所以值域是[0,1]．答案：[0,1]3．(2018·南京调研)如图，已知A，B分别是函数f(x)＝3sinωx(ω＞0)在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB＝π2，则该函数的最小正周期是________．解析：连结AB，设AB与x轴的交点为C，则由∠AOB＝π2，得CO＝CA＝CB.又OA＝CA，所以△AOC是高为3的正三角形，从而OC＝2，所以该函数的最小正周期是4.答案：44．(2018·苏北四市调研)函数y＝3sinx＋3cosxx∈0，π2的单调递增区间是________．解析：化简可得y＝23sinx＋π6，由2kπ－π2≤x＋π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，得－2π3＋2kπ≤x≤π3＋2kπ(k∈Z)，又x∈0，π2，所以函数的单调递增区间是0，π3.答案：0，π35．已知函数f(x)＝sin2x＋π6，其中x∈－π6，α.若f(x)的值域是－12，1，则α的取值范围是________．解析：若－π6≤x≤α，则－π6≤2x＋π6≤2α＋π6.因为当2x＋π6＝－π6或2x＋π6＝7π6时，sin2x＋π6＝－12，所以要使f(x)的值域是－12，1，则π2≤2α＋π6≤7π6，即π3≤2α≤π，所以π6≤α≤π2，即α的取值范围是π6，π2.答案：π6，π26．下列正确命题的序号为________．①y＝tanx为增函数；②y＝tan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为πω；③在x∈[－π，π]上y＝tanx是奇函数；④在－π4，π4上y＝tanx的最大值是1，最小值为－1.解析：函数y＝tanx在定义域内不具有单调性，故①错误；函数y＝tan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为πω，故②正确；当x＝－π2，π2时，y＝tanx无意义，故③错误；由正切函数的图象可知④正确．答案：②④二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·如东中学检测)函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为________．解析：由y＝sin2x＋sinx－1，令t＝sinx，t∈[－1,1]，则有y＝t2＋t－1＝t＋122－54，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t＝－12及t＝1时，函数取最值，代入y＝t2＋t－1，可得y∈－54，1.答案：－54，12．设偶函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，则f16＝________.解析：由题意知，点M到x轴的距离是12，根据题意可设f(x)＝12cosωx，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f(x)＝12cosπx，故f16＝12cosπ6＝34.答案：343．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)对任意x都有fπ6＋x＝fπ6－x，则fπ6＝________.解析：因为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有fπ6＋x＝fπ6－x，所以该函数图象关于直线x＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，故fπ6＝±2.答案：－2或24．(2018·通州期末)已知f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于M3π4，0对称，在区间0，π2上是单调函数，则φ＝________，ω＝________.解析：由f(x)是R上的偶函数，得φ＝π2＋kπ，k∈Z.∵0≤φ≤π，∴φ＝π2.∴f(x)＝sinωx＋π2＝cosωx.∵函数f(x)的图象关于M3π4，0对称，∴3π4ω＝π2＋kπ，k∈Z，即ω＝23＋43k，k∈Z.又f(x)在区间0，π2上是单调函数，∴T2≥π2，即T≥π，∴0＜ω≤2.故ω＝2或23.答案：π22或235．(2019·海安模拟)函数f(x)＝3sin2x＋π3的图象在区间0，π2上的对称轴方程为________．解析：对于函数f(x)＝3sin2x＋π3的图象，令2x＋π3＝kπ＋π2，k∈Z，得x＝kπ2＋π12，k∈Z，令k＝0，可得函数f(x)在区间0，π2上的对称轴方程为x＝π12.答案：x＝π126．(2018·镇江一中测试)已知角φ的终边经过点P(－4,3)，函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，则fπ4＝________.解析：由于角φ的终边经过点P(－4,3)，所以cosφ＝－45.再根据函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，可得2πω＝2×π2，所以ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，所以fπ4＝sinπ2＋φ＝cosφ＝－45.答案：－457．(2019·阜宁中学检测)若直线x＝kπ2(|k|≤1)与函数y＝tan2x＋π4的图象不相交，则k＝________.解析：直线x＝kπ2(|k|≤1)与函数y＝tan2x＋π4的图象不相交，等价于当x＝kπ2时，函数y＝tan2x＋π4无意义，即2×kπ2＋π4＝π2＋mπ，m∈Z，∴k＝m＋14，m∈Z.当m＝0时，k＝14，满足条件．当m＝－1时，k＝－34，满足条件．当m＝1时，k＝54，不满足条件．故满足条件的k＝14或－34.答案：14或－348．(2019·常州调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的图象与x轴的交点A，B，C满足OA＋OC＝2OB，则φ＝________.解析：设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的图象与x轴的交点坐标分别为A(x1,0)，B(x3,0)，C(x2,0)，则x1＋x2＝－2x3，①x2＋x3＝2x1，②①－②得－x3＝3x1，将x3＝－3x1代入②，得x2＝5x1，所以T＝x2－x3＝8x1，所以ω＝2πT＝π4x1，故f(x)＝sinπx4x1＋φ.由图象可知f(x1)＝0，所以sinπ4＋φ＝0，令π4＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝kπ－π4，k∈Z.又0＜φ＜π，所以φ＝3π4.答案：3π49．(2019·宿迁中学调研)已知函数f(x)＝sin3x＋3cos3x，x∈R.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)求函数f(x)在区间－2π9，π3上的最值，并求出取得最值时x的值．解：(1)f(x)＝sin3x＋3cos3x＝212sin3x＋32cos3x＝2sin3x＋π3.由2kπ－π2≤3x＋π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，得2kπ3－5π18≤x≤2kπ3＋π18(k∈Z)，故函数f(x)的单调递增区间为2kπ3－5π18，2kπ3＋π18(k∈Z)．(2)∵x∈－2π9，π3，∴3x＋π3∈－π3，4π3.当3x＋π3＝－π3或4π3，即x＝－2π9或π3时，f(x)min＝－3；当3x＋π3＝π2，即x＝π18时，f(x)max＝2.10．(2018·清江中学测试)已知a＞0，函数f(x)＝－2asin2x＋π6＋2a＋b，当x∈0，π2时，－5≤f(x)≤1.(1)求常数a，b的值；(2)设g(x)＝fx＋π2且lgg(x)＞0，求g(x)的单调区间．解：(1)因为x∈0，π2，所以2x＋π6∈π6，7π6.所以sin2x＋π6∈－12，1，又因为a＞0，所以－2asin2x＋π6∈[－2a，a]，所以f(x)∈[b,3a＋b]．又因为－5≤f(x)≤1，所以b＝－5,3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.(2)由(1)知a＝2，b＝－5，所以f(x)＝－4sin2x＋π6－1，g(x)＝fx＋π2＝－4sin2x＋7π6－1＝4sin2x＋π6－1，又由lgg(x)＞0，得g(x)＞1，所以4sin2x＋π6－1＞1，所以sin2x＋π6＞12，所以2kπ＋π6＜2x＋π6＜2kπ＋5π6，k∈Z.当2kπ＋π6＜2x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z，即kπ＜x≤kπ＋π6，k∈Z时，g(x)单调递增，所以g(x)的单调递增区间为kπ，kπ＋π6，k∈Z.当2kπ＋π2≤2x＋π6＜2kπ＋5π6，k∈Z，即kπ＋π6≤x＜kπ＋π3，k∈Z时，g(x)单调递减．所以g(x)的单调递减区间为kπ＋π6，kπ＋π3，k∈Z.综上，g(x)的单调递增区间为kπ，kπ＋π6，k∈Z；单调递减区间为kπ＋π6，kπ＋π3，k∈Z.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．函数y＝tan(sinx)的值域为________．解析：因为－1≤sinx≤1，所以sinx∈－π2，π2.又因为y＝tanx在－π2，π2上单调递增，所以tan(－1)≤y≤tan1，故函数的值域是[－tan1，tan1]．答案：[－tan1，tan1]2．(2018·扬州期末)已知函数f(x)＝sin2x＋π3(0≤x＜π)，且f(α)＝f(β)＝12(α≠β)，则α＋β＝________.解析：因为0≤x＜π，所以2x＋π3∈π3，7π3，所以由f(x)＝12得2x＋π3＝5π6或13π6，解得x＝π4或11π12，由于f(α)＝f(β)＝12(α≠β)，所以α＋β＝π4＋11π12＝7π6.答案：7π63．(2019·扬州调研)已知函数f(x)＝1＋3cos2x－2sin2π4－x.(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；(2)若方程f(x)－m＝0在区间π4，π上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．解：(1)∵f(x)＝1＋3cos2x－2sin2π4－x＝3cos2x＋cosπ2－2x＝3cos2x＋sin2x＝2sin2x＋π3，∴T＝2π2＝π.由π2＋2kπ≤2x＋π3≤3π2＋2kπ，k∈Z，得π12＋kπ≤x≤7π12＋kπ，k∈Z.∴f(x)的单调递减区间为π12＋kπ，7π12＋kπ(k∈Z)．(2)由题意知，函数y＝f(x)在区间π4，π上的图象与直线y＝m有两个不同的交点．由(1)知，函数f(x)在π4，7π12上单调递减，在7π12，π上单调递增，∴f(x)min＝f7π12＝－2，又fπ4＝1，f(π)＝3，∴当－2＜m≤1时，函数y＝f(x)在区间π4，π上的图象与直线y＝m有两个不同的交点，即方程f(x)－m＝0在区间π4，π上有两个不同的实数解．∴实数m的取值范围为(－2,1]．